Contiguïté (probabilités)

La contiguïté est une notion en probabilités introduite par Lucien Le Cam en 1960 généralisant l'absolue continuité à des suites de mesures de probabilités.

Définition

Soit $(\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite d'espaces mesurables. Soient $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ deux suites de mesures de probabilités sur $(\Omega _{n},F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$.

La suite $\mu _{n}$ est dite contiguë par rapport à la suite $\nu _{n}$ si pour toute séquence d'événements $F_{n}\in {\mathcal {F}}_{n}$, $\lim _{n\to \infty }\nu _{n}(F_{n})=0\implies \lim \mu _{n}(F_{n})=0$. On note alors $\mu _{n}\triangleleft \nu _{n}$.

Si on a à la fois $\mu _{n}\triangleleft \nu _{n}$ et $\mu _{n}\triangleright \nu _{n}$, les suites $\mu _{n}$ et $\nu _{n}$ sont dites mutuellement contiguës et l'on note $\mu _{n}\triangleleft \triangleright \nu _{n}$.

Lien avec l'absolue continuité

La contiguïté peut être vue comme une généralisation de l'absolue continuité aux suites de mesures de probabilité. Si dans la définition précédente les suites sont constantes, $\mu _{n}=\mu$, $\nu _{n}=\nu$ et $F_{n}=F$, on obtient que, si $\nu (F)=0$ alors $\mu (F)=0$, c'est-à-dire que $\mu$ est absolument continue par rapport à $\nu$.

La contiguïté est faite pour assurer l'absolue continuité des limites. Si deux suites de mesures de probabilité $(\mu )_{n\in \mathbb {N} }$ et $(\mu )_{n\in \mathbb {N} }$ convergent en distribution vers deux mesures $\mu$ et $\nu$, et que la suite $(\mu )_{n\in \mathbb {N} }$ est contigüe par rapport à $(\nu )_{n\in \mathbb {N} }$, alors $\mu$ est absolument continue par rapport à $\nu$.

Autres caractérisations

Les deux définitions ci-dessous de la contiguïté sont équivalentes à celles données précédemment .

Considérons comme plus haut une suite d'espaces mesurables $(\Omega _{n},{\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et deux suites de mesures de probabilités $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ et $(\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sur $(\Omega _{n},F_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ .

• La suite $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est contiguë par rapport à $(\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ si, pour toute suite de variables aléatoires $X_{n}$ , $\left(\forall \eta ,\ \ \nu _{n}(|X_{n}|>\eta ){\underset {n\to \infty }{\to }}0\right)\implies \left(\forall \eta ,\ \ \mu _{n}(|X_{n}|>\eta ){\underset {n\to \infty }{\to }}0\right)$. En d'autres termes, si $X_{n}$ tend vers 0 en probabilité sous la suite de mesures $\nu _{n}$, alors $X_{n}$tend aussi vers 0 sous la suite de mesures $\mu _{n}$ .
• La suite $(\mu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ est contiguë par rapport à $(\nu _{n})_{n\in \mathbb {N} }$ si $\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}\in \mathbb {N} ,\delta >0:{\underset {n\geq n_{0}}{\sup }}\left\{{\underset {F\in {\mathcal {F}}_{n}:\nu _{n}(F)<\delta }{\sup }}\{\mu _{n}(F)\}\right\}\leq \varepsilon$ .

Voir aussi

• Absolue continuité
• Normalité asymptotique localeNormalité asymptotique locale
• Lucien Le Cam