Théorème de Gabriel

En mathématiques, le théorème de Gabriel, démontré par Pierre Gabriel, permet de classer les carquois de type fini en termes de diagrammes de Dynkin.

Énoncé

Un carquois est de type fini s’il a seulement un nombre fini d'isomorphismes de classes de représentations indécomposables. Gabriel en 1972 a classé tous les carquois de type fini, ainsi que leur représentations indécomposables. Plus précisément, le théorème de Gabriel stipule que :

1. Un carquois (connexe) est de type fini si et seulement si son graphe sous-jacent (lorsque les directions des flèches sont ignorées) est l'un des diagrammes de Dynkin de la classification ADE : $A_{n}$, $D_{n}$, $E_{6}$, $E_{7}$, $E_{8}$.
2. Les représentations indécomposables sont en correspondance bijective avec les racines positives du système de racines du diagramme de Dynkin.

Dlab et Ringel en 1975 ont trouvé une généralisation du théorème de Gabriel dans laquelle interviennent tous les diagrammes de Dynkin d’algèbres de Lie semi-simples de dimension finie.