Immanant d'une matrice

En mathématiques, l'immanant d'une matrice est une généralisation des notions de déterminant et de permanent définie par Dudley E. Littlewood et Archibald Read Richardson. Ce concept est utilisé notamment en théorie des représentations du groupe symétrique.

Définition

Soit $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )$ une partition d'un entier $n$ et soit $\chi _{\lambda }$ le caractère de la représentation irréductible correspondante du groupe symétrique $S_{n}$. L'immanant d'une matrice $A=(a_{ij})$ d'ordre $n$ associe au caractère $\chi _{\lambda }$ est défini comme :

${\rm {Imm}}_{\lambda }(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}.$

Le déterminant est le cas particulier de l’immanant obtenu lorsque $\chi _{\lambda }$ est le caractère alternant $\operatorname {sgn}$, de S_n, défini par la parité d'une permutation.

Le permanent est le cas particulier de l’immanant obtenu lorsque $\chi _{\lambda }$ est le caractère trivial égal à 1.

Utilisation

Dans leurs travaux, Littlewood et Richardson ont aussi étudié les relations de l’immanant avec les fonctions de Schur dans la théorie des représentations du groupe symétrique.

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Immanant of a matrix » (voir la liste des auteurs).
• Dudley E. Littlewood et Archibald R. Richardson, « Group Characters and Algebra », Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, The Royal Society, vol. 233, n^os 721–730,‎ 1934, p. 99–141 (ISSN 0264-3952, DOI 10.1098/rsta.1934.0015, JSTOR 91293, lire en ligne)
• Dudley E. Littlewood, The theory of group characters and matrix representations of groups., AMS Chelsea Publishing, 1950 (réimpr. 2006), 2^e éd. (1^re éd. 1940), viii+314 (ISBN 0-8218-4067-3), p. 81.

Lien externe

• Modèle:Planetmath reference