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En mathématiques , l’inégalité de Paley-Zygmund minore la probabilité qu'une variable aléatoire positive soit « petite », au sens de sa valeur moyenne attendue et de sa variance . Elle fut établie par Raymond Paley et Antoni Zygmund .
Inégalité Énoncé Si Z ≥ 0 est une variable aléatoire de variance finie, et si 0 < θ < 1, alors
Pr
{
Z
≥
θ
E
(
Z
)
}
≥
(
1
−
θ
)
2
E
(
Z
)
2
E
(
Z
2
)
.
{\displaystyle \Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace \geq (1-\theta )^{2}\,{\frac {\operatorname {E} (Z)^{2}}{\operatorname {E} (Z^{2})}}.}
Démonstration Tout d'abord, on a :
E
(
Z
)
=
E
{
Z
1
Z
<
θ
E
(
Z
)
}
+
E
{
Z
1
Z
≥
θ
E
(
Z
)
}
.
{\displaystyle \operatorname {E} (Z)=\operatorname {E} \lbrace Z\,\mathbf {1} _{Z<\theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace +\operatorname {E} \lbrace Z\,\mathbf {1} _{Z\geq \theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace ~.}
Le premier terme de la somme est égal, au plus, à
θ
E
(
Z
)
{\displaystyle \theta \operatorname {E} (Z)}
{
E
(
Z
2
)
}
1
/
2
{
E
1
Z
≥
θ
E
(
Z
)
}
1
/
2
=
(
E
(
Z
2
)
)
1
/
2
(
Pr
{
Z
≥
θ
E
(
Z
)
}
)
1
/
2
{\displaystyle \lbrace \operatorname {E} (Z^{2})\rbrace ^{1/2}\lbrace \operatorname {E} \mathbf {1} _{Z\geq \theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace ^{1/2}={\Big (}\operatorname {E} (Z^{2}){\Big )}^{1/2}{\Big (}\Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace {\Big )}^{1/2}}
d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz .
Ainsi, l'inégalité de Paley-Zygmund est démontrée.
Inégalités liées En réécrivant le morceau de droite, l'inégalité de Paley-Zygmund se met sous la forme :
Pr
{
Z
≥
θ
E
(
Z
)
}
≥
(
1
−
θ
)
2
E
(
Z
)
2
E
(
Z
)
2
+
Var
(
Z
)
.
{\displaystyle \Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace \geq {\frac {(1-\theta )^{2}\,\operatorname {E} (Z)^{2}}{\operatorname {E} (Z)^{2}+\operatorname {Var} (Z)}}.}
L'inégalité de Tchebychev donne une meilleure minoration :
Pr
{
Z
≥
θ
E
(
Z
)
}
≥
(
1
−
θ
)
2
E
(
Z
)
2
(
1
−
θ
)
2
E
(
Z
)
2
+
Var
(
Z
)
.
{\displaystyle \Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace \geq {\frac {(1-\theta )^{2}\,\operatorname {E} (Z)^{2}}{(1-\theta )^{2}\,\operatorname {E} (Z)^{2}+\operatorname {Var} (Z)}}.}
Références (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Paley–Zygmund inequality » (voir la liste des auteurs ) .R.E.A.C.Paley et A.Zygmund, « A note on analytic functions in the unit circle », Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266-272. 
