Loi de réciprocité de Scholz

En mathématiques, et notamment en théorie des nombres, la loi de réciprocité de Scholz est une loi de réciprocité pour les corps quadratiques réels découverte par Theodor Schönemann (en 1839) et redécouverte par Arnold Scholz (en 1929).

Énoncé

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers congrus à 1 mod 4 tels que le symbole de Legendre $\left({\frac {p}{q}}\right)$ est égal à 1. Alors l'idéal $(p)$ se factorise en $(p)={\mathfrak {pp'}}$ dans l' anneau des entiers de $\mathbb {Q} ({\sqrt {q}})$ et de même $(q)={\mathfrak {qq'}}$ dans l'anneau des entiers de $\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})$. Notons $\varepsilon _{p}$ et $\varepsilon _{q}$ les unités fondamentales dans ces corps quadratiques. Alors la loi de réciprocité de Scholz affirme que

$[\varepsilon _{p}/{\mathfrak {q}}]=[\varepsilon _{q}/{\mathfrak {p}}]$

où [] dénote le résidu quadratique dans un corps de nombres quadratique.

Références

• Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws. From Euler to Eisenstein, Springer-Verlag, Berlin, coll. « Springer Monographs in Mathematics », 2000 (ISBN 3-540-66957-4, MR 1761696, zbMATH 0949.11002, lire en ligne)
• (de) Arnold Scholz, « Zwei Bemerkungen zum Klassenkörperturm. », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 161,‎ 1929, p. 201–207 (ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1929.161.201, JFM 55.0103.06, lire en ligne)
• Theodor Schönemann, « Ueber die Congruenz x² + y² ≡ 1 (mod p) », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 19,‎ 1839, p. 93–112 (ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1839.19.93, lire en ligne)