Quantification existentielle
En mathématiques et en logique, plus précisément en calcul des prédicats, l'existence d'un objet x satisfaisant une certaine propriété, ou prédicat, P se note ∃x P(x), où le symbole mathématique ∃, lu « il existe », est le quantificateur existentiel, et P(x) le fait pour l'objet x d'avoir la propriété P.
L'objet x a la propriété P(x) s'exprime par une formule du calcul des prédicats. Pour exemples,
- dans une structure ordonnée, « x est un élément minimal » s'écrit ∀ y x ≤ y, « il existe un élément minimal » s'écrit donc ∃x ∀ y x ≤ y
- dans une structure munie d'une loi binaire notée +, « x est élément neutre » se dit ∀y ((y +x = y) ∧ (x + y = y)), « il existe un élément neutre » s'écrit donc ∃x ∀ y ((y +x = y) ∧ (x + y = y)).
Le quantificateur existentiel ∃ est un opérateur de liaison, ou signe mutificateur ; la variable qui suit immédiatement le quantificateur est dite liée, ou muette dans l'expression. Ainsi l'énoncé ∃x P(x) ne dépend pas de x, et il est synonyme par exemple de ∃z P(z).
L'énoncé peut se démontrer directement par une construction explicite, en produisant l'objet considéré, ou indirectement par une démonstration éventuellement non constructive, comme dans le cas d'un raisonnement par l'absurde. Elle peut même être directement exprimée par un axiome d'une théorie mathématique.
A priori, l'existence ne garantit pas l'unicité, ce qui signifie qu'il peut exister plusieurs objets satisfaisant les mêmes propriétés, donc que l'obtention de tels objets par des méthodes différentes (ou par la répétition d'une même méthode) n'aboutira pas nécessairement au même résultat. Lorsqu'il y a quantification existentielle unique, c'est-à-dire conjonction de l'existence et de l'unicité[1], le prédicat est usuellement noté à l'aide du signe « ∃! », qui a la même syntaxe que le signe « ∃ ».
Les variables peuvent être astreintes à des ensembles différents, réels, entiers, vecteurs... Il est souvent nécessaire de préciser explicitement dans la quantification le domaine auquel est astreinte la variable, par exemple ∃x ∈ ℝ P(x) pour indiquer que la variable x désigne un réel, avec diverses syntaxes possibles pour séparer la quantification du prédicat (espace comme précédemment, virgule : ∃x ∈ ℝ, P(x), etc.).
Note
- « In mathematics, definitions often come paired : "at most one" and "at least one" » —(en) Ravi Vakil, « Foundations of Algebraic Geometry », sur math.stanford.edu, , p. 73.
Bibliographie
- René Cori et Daniel Lascar, Logique mathématique I. Calcul propositionnel, algèbres de Boole, calcul des prédicats [détail des éditions] (chapitre 3)
