En mathématiques , une suite de polynômes
(
p
n
(
z
)
)
n
∈
N
{\displaystyle (p_{n}(z))_{n\in \mathbb {N} }}
représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme :
K
(
z
,
w
)
=
A
(
w
)
Ψ
(
z
g
(
w
)
)
=
∑
n
=
0
∞
p
n
(
z
)
w
n
{\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}
où la fonction génératrice
K
(
z
,
w
)
{\displaystyle K(z,w)}
séries :
A
(
w
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
w
n
{\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}}
a
0
≠
0
{\displaystyle a_{0}\neq 0}
Ψ
(
t
)
=
∑
n
=
0
∞
Ψ
n
t
n
{\displaystyle \Psi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }\Psi _{n}t^{n}}
Ψ
n
≠
0
{\displaystyle \Psi _{n}\neq 0}
g
(
w
)
=
∑
n
=
1
∞
g
n
w
n
{\displaystyle g(w)=\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}w^{n}}
g
1
≠
0
{\displaystyle g_{1}\neq 0}
Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que
p
n
(
z
)
{\displaystyle p_{n}(z)}
degré
n
{\displaystyle n}
Cas particuliers Le choix de
g
(
w
)
=
w
{\displaystyle g(w)=w}
polynômes de Brenke William Charles Brenke .
Le choix de
Ψ
(
t
)
=
e
t
{\displaystyle \Psi (t)=\operatorname {e} ^{t}}
polynômes de Sheffer
Le choix simultané de
g
(
w
)
=
w
{\displaystyle g(w)=w}
Ψ
(
t
)
=
e
t
{\displaystyle \Psi (t)=\operatorname {e} ^{t}}
polynômes d'Appell au sens strict. Représentation explicite Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite
p
n
(
z
)
=
∑
k
=
0
n
z
k
Ψ
k
h
k
{\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}z^{k}\Psi _{k}h_{k}}
Le coefficient
h
k
{\displaystyle h_{k}}
h
k
=
∑
P
a
j
0
g
j
1
g
j
2
…
g
j
k
{\displaystyle h_{k}=\sum _{P}a_{j_{0}}g_{j_{1}}g_{j_{2}}\ldots g_{j_{k}}}
où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n .
Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient :
p
n
(
z
)
=
∑
k
=
0
n
a
n
−
k
z
k
k
!
{\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{n-k}z^{k}}{k!}}}
Relations de récurrence De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau
K
(
z
,
w
)
{\displaystyle K(z,w)}
A
(
w
)
Ψ
(
z
g
(
w
)
)
{\displaystyle A(w)\Psi (zg(w))}
g
1
=
1
{\displaystyle g_{1}=1}
∂
K
(
z
,
w
)
∂
w
=
c
(
w
)
K
(
z
,
w
)
+
z
b
(
w
)
w
∂
K
(
z
,
w
)
∂
z
{\displaystyle {\frac {\partial K(z,w)}{\partial w}}=c(w)K(z,w)+{\frac {zb(w)}{w}}{\frac {\partial K(z,w)}{\partial z}}}
où
b
(
w
)
{\displaystyle b(w)}
c
(
w
)
{\displaystyle c(w)}
b
(
w
)
=
w
g
(
w
)
d
d
w
g
(
w
)
=
1
+
∑
n
=
1
∞
b
n
w
n
{\displaystyle b(w)={\frac {w}{g(w)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}g(w)=1+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}w^{n}}
et
c
(
w
)
=
1
A
(
w
)
d
d
w
A
(
w
)
=
∑
n
=
0
∞
c
n
w
n
{\displaystyle c(w)={\frac {1}{A(w)}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} w}}A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}w^{n}}
En faisant la substitution
K
(
z
,
w
)
=
∑
n
=
0
∞
p
n
(
z
)
w
n
{\displaystyle K(z,w)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}}
il vient immédiatement la relation de récurrence :
z
n
+
1
d
d
z
[
p
n
(
z
)
z
n
]
=
−
∑
k
=
0
n
−
1
c
n
−
k
−
1
p
k
(
z
)
−
z
∑
k
=
1
n
−
1
b
n
−
k
d
d
z
p
k
(
z
)
{\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z)}
Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a
g
(
w
)
=
w
{\displaystyle g(w)=w}
b
n
{\displaystyle b_{n}}
Crédit d'auteurs Bibliographie (en) Ralph P. Boas, Jr. et R. Creighton Buck Robert Creighton Buck , Polynomial Expansions of Analytic Functions , New York/Berlin, Academic Press /Springer-Verlag , 1964 , 2e éd. (en) William C. Brenke, « On generating functions of polynomial systems », Amer. Math. Month. vol. 52, 1945 , p. 297-301(en) W. N. Huff, « The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) », Duke Math. J. vol. 14, 1947 , p. 1091-1104
![{\displaystyle z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\left[{\frac {p_{n}(z)}{z^{n}}}\right]=-\sum _{k=0}^{n-1}c_{n-k-1}p_{k}(z)-z\sum _{k=1}^{n-1}b_{n-k}{\frac {d}{dz}}p_{k}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c204092f56b77691c103bf43a8ef28f8c4ce6ee9)
