Polynôme d'Appell généralisé

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Définition[modifier | modifier le code]

En mathématiques, une suite de polynômes possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme suivante :

où la fonction génératrice est composée des séries :

  • avec
  • avec tous les
  • , avec

Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que est un polynôme de degré .

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

  • Le choix de donne la classe des polynômes de Brenke.
  • Le choix simultané de et de donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.

Représentation explicite[modifier | modifier le code]

Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite

Le coefficient est

où la somme s'étend à toutes les partitions de n en k+1 parties — au sens large — c'est-à-dire en admettant la partie vide pour  ; si bien que la somme comprend tous les , nuls ou non, tels que .

Pour les polynômes d'Appell, ceci devient la formule :

Relations de récurrence[modifier | modifier le code]

De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau puisse être écrit comme avec est que

et ont un développement en série

et

En faisant la substitution :

il vient immédiatement la relation de récurrence :

Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a et donc tous les , ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.

Références[modifier | modifier le code]

  • Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, « Polynomial Expansions of Analytic Functions » (Deuxième édition corrigée), (1964) Academic Press Inc., Publishers, New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.
  • William C. Brenke, On generating functions of polynomial systems, « American Mathematical Monthly », (1945) 52 pp. 297-301.
  • W. N. Huff, The type of the polynomials generated by f(xt) φ(t) « Duke Mathematical Journal », (1947) 14 pp 1091-1104.