Polynôme d'Appell généralisé

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En mathématiques, une suite de polynômes possède une représentation d'Appell généralisée si la fonction génératrice des polynômes prend la forme :

où la fonction génératrice est composée des séries :

  • avec  ;
  • avec tous les  ;
  • avec .

Dans les conditions ci-dessus, il n'est pas difficile de montrer que est polynôme de degré .

Cas particuliers[modifier | modifier le code]

  • Le choix de donne la classe des polynômes de Brenke (en).
  • Le choix de donne la suite des polynômes de Sheffer.
  • Le choix simultané de et de donne la suite des polynômes d'Appell au sens strict.

Représentation explicite[modifier | modifier le code]

Les polynômes d'Appell généralisés ont la représentation explicite

.

Le coefficient est

où la somme s'étend à toutes les « partitions au sens large » de n en k + 1 parties, c'est-à-dire à tous les (k + 1) uplets j d'entiers positifs ou nuls de somme n.

Pour les polynômes d'Appell, cette formule devient :

.

Relations de récurrence[modifier | modifier le code]

De manière équivalente, une condition nécessaire et suffisante pour que le noyau puisse être écrit comme avec est que

et ont un développement en série

et

.

En faisant la substitution

,

il vient immédiatement la relation de récurrence :

.

Dans le cas particulier des polynômes de Brenke, on a et donc tous les sont nuls, ce qui simplifie considérablement la relation de récurrence.

Crédit d'auteurs[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Generalized Appell polynomials » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie[modifier | modifier le code]