Forme bilinéaire non dégénérée

En mathématiques, une forme bilinéaire non dégénérée est une forme bilinéaire dont les deux espaces singuliers (à droite et à gauche) sont réduits à {0}.

Par exemple, un produit scalaire est un cas particulier de forme bilinéaire non dégénérée.

Définitions

Soient K un corps, E un K-espace vectoriel à gauche, F un K-espace vectoriel à droite et f une forme bilinéaire sur E×F.

• On dit que f est dégénérée à droite (resp. à gauche) s'il existe un élément non nul $y_{0}$ de F (resp. $x_{0}$ de E) tel que $f(x,y_{0})=0$ pour tout $x\in E$ (resp. $f(x_{0},y)=0$ pour tout $y\in F$).
• On appelle espace singulier à droite le sous-espace suivant de F :$S_{d}(f)=\{y\in F,\ \forall x\in E,\ f(x,y)=0\}$
• On définit de même l'espace singulier à gauche $S_{g}(f)\subset E.$
• On dit que f est non dégénérée si elle est non dégénérée à droite et à gauche.

Propriétés

• Pour un vecteur x de E, notons $f(x,\cdot )$ la fonction partielle de f qui à $y\in F$ associe $f(x,y)$. C'est une forme linéaire sur F, donc un élément du dual algébrique F* (qui est, comme E, un K-espace vectoriel à gauche). De plus, l'application ${\hat {f}}$ de E dans F* qui à $x$ associe $f(x,\cdot )$ est linéaire. Par construction,$S_{g}(f)=\ker {\hat {f}}.$
• Si E et F sont de dimension finie, $S_{g}(f)=\{{\overrightarrow {0}}\}$ si et seulement si $S_{d}(f)=\{{\overrightarrow {0}}\}$, et cela équivaut à dire que f est non dégénérée.
• Lorsque E est un espace vectoriel réel, toute forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur E×E est définie (c'est donc un produit scalaire). C'est une conséquence de l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour les formes bilinéaires positives.

Références

• J.-M. Arnaudiès et H. Fraysse, Cours de mathématiques 4 : Algèbre bilinéaire et géométrie, Dunod, 1990
• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, vol. II : Algèbre, Chapitre 9, Berlin, Hermann, 1959 (réimpr. 2007), 205 p. (ISBN 978-3-540-35338-6, présentation en ligne)