Processus convexe

Un processus convexe est une multifonction dont le graphe est un cône convexe pointé. Un processus convexe étend la notion d'application linéaire (dont le graphe est un sous-espace vectoriel), puisqu'un processus convexe univoque est une application linéaire. On peut lui associer une norme.

Cette notion a été introduite par Rockafellar (1967 et 1970). Elle intervient, par exemple, dans la généralisation du théorème des fonctions implicites aux multifonctions.

Connaissances supposées : les bases de l'analyse multifonctionnelle et de l'analyse convexe.

Définitions et exemple

Définitions

Soient $\mathbb {E}$ et $\mathbb {F}$ deux espaces vectoriels réels. Un processus convexe est une multifonction $T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F}$ dont le graphe ${\mathcal {G}}(T):=\{(x,y)\in \mathbb {E} \times \mathbb {F} :y\in T(x)\}$ est un cône convexe pointé (il s'agit donc d'une multifonction convexe particulière). Il revient au même de dire (et il sera parfois plus simple de vérifier) qu'un processus convexe est une multifonction $T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F}$ qui satisfait aux propriétés suivantes :

• pour tout $x_{1}$, $x_{2}\in \mathbb {E}$, on a $T(x_{1}+x_{2})\supset T(x_{1})+T(x_{2})$,
• pour tout $\alpha >0$ et pour tout $x\in \mathbb {E}$, on a $T(\alpha x)=\alpha T(x)$,
• $0\in T(0)$.

On dit qu'un processus convexe $T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F}$ est fermé si son graphe ${\mathcal {G}}(T)$ est fermé dans l'espace produit $\mathbb {E} \times \mathbb {F} .$

Rappels d'analyse multifonctionnelle

Rappelons quelques notions liées à une multifonction $T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F}$ qui nous serons utiles.

• Le domaine de $T$ est défini et noté par $\operatorname {dom} T:=\{x\in \mathbb {E} :T(x)\neq \varnothing \}$ ; c'est la projection canonique de ${\mathcal {G}}(T)$ sur $\mathbb {E}$.
• L'image de $T$ est définie et notée par ${\mathcal {R}}(T):=\{y\in \mathbb {F} :\exists \,x\in \mathbb {E} ~{\mbox{tel que}}~y\in T(x)\}$ ; c'est la projection canonique de ${\mathcal {G}}(T)$ sur $\mathbb {F}$.
• La fonction réciproque de $T$ est la multifonction $T^{-1}:\mathbb {F} \multimap \mathbb {E}$ définie par $T^{-1}(y):=\{x\in \mathbb {E} :y\in T(x)\}$. Dès lors $y\in T(x)$ si, et seulement si, $x\in T^{-1}(y)$.
• On dit que $T$ est semi-continue inférieurement en $x_{0}\in \mathbb {E}$ relativement à une partie $P_{0}\subset \mathbb {E}$ contenant $x_{0}$, si pour tout ouvert $V$ de $\mathbb {F}$ tel que $V\cap T(x_{0})\neq \varnothing$, il existe un ouvert $U$ de $P_{0}$ (muni de sa topologie induite de celle de $\mathbb {E}$) contenant $x_{0}$ tel que, pour tout $x\in U$, on a $V\cap T(x)\neq \varnothing$.
• On dit que $T$ est ouverte en $0$, si pour tout ouvert $U$ de $\mathbb {E}$ contenant 0, $T(U)$ est un voisinage de 0 dans ${\mathcal {R}}(T)$ (muni de la topologie induite de celle de $\mathbb {F}$).

Exemple

Voici un exemple instructif de processus convexe : $\mathbb {E} =\mathbb {R} ^{n}$, $\mathbb {F} :=\mathbb {R} ^{m}$ et $T:\mathbb {R} ^{n}\multimap \mathbb {R} ^{m}$ est défini en $x\in \mathbb {R} ^{n}$ par

$T(x)=\left\{{\begin{array}{ll}\{y\in \mathbb {R} ^{m}:y\leqslant Bx\}&{\mbox{si}}~Ax\geqslant 0\\\varnothing &{\mbox{sinon,}}\end{array}}\right.$

où $A:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}$ et $B:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ sont des applications linéaires. On voit que le processus convexe réciproque a pour valeur en $y\in \mathbb {R} ^{m}$ :

$T^{-1}(y)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:Ax\geqslant 0,~Bx\geqslant y\}.$

Dès lors, $T^{-1}(y)$ donne l'ensemble des solutions d'un certain système d'inégalités linéaires, dont une partie des inégalités est perturbée par le vecteur $y$.

Propriétés immédiates

Pour un processus convexe $T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F}$, on a

• pour tout convexe $C\subset \mathbb {E}$, $T(C)$ est convexe dans $\mathbb {F}$ (parce que $T$ est une multifonction convexe),
• $\operatorname {dom} T$ est un cône convexe pointé,
• $T(0)$ est un cône convexe et $T(0)=\{y\in \mathbb {F} :T(x)+y\subset T(x)$ pour tout $x\in \mathbb {E} \}$,
• $T^{-1}$ est un processus convexe,
• $T^{-1}(0)=\{x\in \mathbb {E} :T(x')\subset T(x'+x)$ pour tout $x'\in \mathbb {E} \}$,
• un processus convexe univoque est une application linéaire.

Norme

On suppose dans cette section que $\mathbb {E}$ et $\mathbb {F}$ sont des espaces normés.

On peut définir la norme d'un processus convexe $T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F}$ par

$\|T\|:=\sup _{\|x\|\leqslant 1 \atop x\in \operatorname {dom} T}\,\inf _{y\in T(x)}\|y\|.$

Contrairement aux applications linéaires, la norme d'un processus convexe entre espaces de dimension finie n'est pas nécessairement finie, même s'il est fermé. Par exemple, la multifonction $T:\mathbb {R} \multimap \mathbb {R} ^{2}$ définie en $x\in \mathbb {R}$ par

$T(x)=\left\{{\begin{array}{ll}\{y\in \mathbb {R} ^{2}:y_{1}^{2}\leqslant xy_{2},~y_{2}\geqslant 0\}&{\mbox{si}}~x\geqslant 0\\\varnothing &{\mbox{sinon,}}\end{array}}\right.$

est un processus convexe fermé et son application réciproque $T^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\multimap \mathbb {R}$ prend en $y\in \mathbb {R} ^{2}$ la valeur

$T^{-1}(y)=\left\{{\begin{array}{ll}\{x\in \mathbb {R} :x\geqslant y_{1}^{2}/y_{2}\}&{\mbox{si}}~y_{2}>0\\\mathbb {R} _{+}&{\mbox{si}}~y=0\\\varnothing &{\mbox{sinon.}}\end{array}}\right.$

Cependant $\|T^{-1}\|=+\infty$, car si $y_{k}:=(1,1/k)$, avec $k\in \mathbb {N} ^{*}$, on a

$\|T^{-1}\|\geqslant \sup _{k\to \infty }\inf _{x\in T(y_{k}/\|y_{k}\|)}\,|x|=\sup _{k\to \infty }(k/\|y_{k}\|)=+\infty .$

Norme finie — Soit $T:\mathbb {E} \multimap \mathbb {F}$ un processus convexe. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes:

1. $\|T\|<+\infty$,
2. $T$ est semi-continue inférieurement en 0, relativement à $\operatorname {dom} T$,
3. $T^{-1}$ est ouverte en 0.

Annexes

Article connexe

• Multifonction convexe

Bibliographie

• (en) S.M. Robinson (1972). Normed convex processes. Translations of the American Mathematical Society, 174, 127-140.
• (en) R.T. Rockafellar (1967). Monotone processes of convex and concave type. Memoirs of the American Mathematical Society, 77. American Mathematical Society, Providence, R.I., USA.
• (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.