Méthode delta

Méthode delta

Type	Méthode statistique (d)

En probabilité et en statistiques, la méthode delta (ou delta méthode) est une méthode pour obtenir une approximation de la distribution asymptotique de la transformée d'une variable aléatoire asymptotiquement normale. Plus généralement, on peut considérer la méthode delta comme une extension du théorème central limite.

Cas univarié

Soit une suite de variables aléatoires $X_{1},\ldots ,X_{n}$ d'espérance $\theta$ et de variance $\sigma ^{2}$. Si ${{\sqrt {n}}[{\bar {X}}_{n}-\theta ]\,{\xrightarrow {L}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})},$ avec ${\xrightarrow {L}}$ la notation pour la convergence en loi, d'après la méthode delta, pour toute fonction g dérivable et telle que $g'(\theta )\neq 0$ :

${{\sqrt {n}}[g({\bar {X}}_{n})-g(\theta )]\,{\xrightarrow {L}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})}$.

Cas multivarié

Soit $X_{1},\dots ,X_{n}$ une suite de vecteurs aléatoires de $\mathbb {R} ^{d}$ , $g:\mathbb {R} ^{d}\longrightarrow \mathbb {R} ^{s}$ une fonction différentiable en $\theta$. Supposons que ${\textstyle {{\sqrt {n}}[{\bar {X_{n}}}-\theta ]\,\xrightarrow {L} \,{\mathcal {N}}_{d}(0,\Sigma )}}$ où ${\mathcal {N}}_{d}(0,\Sigma )$ désigne la loi normale $d$-dimensionnelle centrée de matrice de variance-covariance $\Sigma$. Dans ce cas la méthode delta s'écrit :

$${{\sqrt {n}}[g(X_{n})-g(\theta )]\,{\xrightarrow {L}}\,{\mathcal {N}}_{s}\left(0,Dg(\theta )\Sigma Dg(\theta )^{T}\right)}$$

avec $Dg(\theta )$ la matrice jacobienne de $g$ en $\theta$.

Exemple

Soit $X_{1},\ldots ,X_{n}$ une suite de variables aléatoires d'espérance $\mu$ et de variance $\sigma ^{2}$. D'après le théorème central-limite, on sait que ${\sqrt {n}}[{\bar {X_{n}}}-\mu ]\,{\xrightarrow {L}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$. Maintenant, si l'on définit $W_{n}=e^{\bar {X_{n}}}$, on peut obtenir la distribution asymptotique de $W_{n}$ grâce à la méthode delta. Dans ce cas, on a la fonction $g(x)=e^{x}$. On sait que cette fonction vérifie $g'(x)=e^{x}$. En appliquant la méthode delta, on obtient ${\sqrt {n}}[e^{\bar {X_{n}}}-e^{\mu }]\,{\xrightarrow {L}}\,{\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2}e^{2\mu })$.

Bibliographie

• (en) Gary W. Oehlert, « A Note on the Delta Method », The American Statistician, vol. 46, n^o 1,‎ février 1992, p. 27-29 (DOI 10.1080/00031305.1992.10475842, JSTOR 2684406)