Méthode delta

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En probabilité et en statistiques, la méthode delta (ou delta méthode) est une méthode pour obtenir une approximation de la distribution asymptotique de la transformée d'une variable aléatoire asymptotiquement normale. Plus généralement, on peut considérer la méthode delta comme une extension du théorème central limite.

Cas univarié[modifier | modifier le code]

Soit une suite de variables aléatoires d'espérance et de variance . Si avec la notation pour la convergence en loi, d'après la méthode delta, pour toute fonction g dérivable et telle que  :

[1].

Cas multivarié[modifier | modifier le code]

Soit une suite de vecteurs aléatoires de , une fonction différentiable en . Supposons que désigne la loi normale -dimensionnelle centrée de matrice de variance-covariance . Dans ce cas la méthode delta s'écrit :

avec la matrice jacobienne de en .

Exemple[modifier | modifier le code]

Soit une suite de variables aléatoires d'espérance et de variance . D'après le théorème central-limite, on sait que . Maintenant, si on définit , on peut obtenir la distribution asymptotique de grâce à la méthode delta. Dans ce cas, on a la fonction . On sait que cette fonction vérifie . En appliquant la méthode delta, on obtient [1].

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a et b (en) Larry Wasserman, All of Statistics : A Concise Course in Statistical Inference, Springer, coll. « Springer Texts in Statistics », , p. 79