Arbelos

L'arbelos (ou tricercle de Mohr, du nom du mathématicien danois Georg Mohr) est une figure géométrique plane étudiée, entre autres, par Archimède (-287 - -212, Syracuse). Le terme « arbelos » signifie couteau du savetier.

Construction

Le couteau du savetier.

Soit un demi-cercle de diamètre BC. Soit A un point quelconque de ce diamètre.

• Tracer le demi-cercle de diamètre BA intérieur.
• Tracer le demi-cercle de diamètre AC intérieur.
• Considérer la surface intérieure obtenue : c'est une lame d'arbelos.

Propriétés

Cette figure possède de nombreuses propriétés, en voici quelques-unes :

Propriété de l'aire : soit AH la demi-corde verticale passant par A. L'aire de l'arbelos est égale à l'aire du cercle de diamètre AH.

Démonstration : il suffit d'appeler b et c les diamètres AB et AC, et h la hauteur AH. Les aires des demi-cercles sont alors respectivement de ${\pi \over 8}b^{2}$, ${\pi \over 8}c^{2}$, ${\pi \over 8}(b+c)^{2}$. Puis, par différence, on obtient l'aire de l'arbelos ${\pi \over 4}bc$. La dernière étape fait appel aux propriétés du triangle rectangle dans lequel le carré de la hauteur est égal au produit des longueurs découpées sur l'hypoténuse. En d'autres termes : $bc=h^{2}$. Ce qui nous donne pour l'aire de l'arbelos : ${\pi \over 4}h^{2}$ qui est bien l'aire du cercle de diamètre AH.

Propriété du rectangle : Le segment BH coupe le demi-cercle BA en D. Le segment CH coupe le demi-cercle AC en E. Alors DHEA est un rectangle.

Démonstration : Les triangles BDA, BHC et AEC sont rectangles car inscrits dans des demi-cercles (théorème de Thalès (cercle)). Le quadrilatère ADHE possède donc trois angles droits, c'est un rectangle.

Propriété des tangentes : La droite (DE) est une tangente commune aux deux cercles.

Démonstration : La similitude de centre D qui envoie B sur A a pour angle $\pi /2$ et envoie aussi A sur H (les triangles DBA et DAH sont semblables). Elle envoie donc le milieu I de [AB] sur le milieu O de [AH] et l'angle IDO est droit. La droite (DO) est donc tangente au premier cercle en D. Comme ADHE est un rectangle, le point O est sur (DE) donc (DE) est une tangente du premier cercle. Elle est tangente du second par un raisonnement analogue.

Voir aussi

Liens internes

• Théorème des deux lunules
• Théorème de Descartes
• Cercles d'Archimède
• Cercles d'Apollonius
• Cercle de Mohr
• Salinon

Liens externes

• (fr) Baptiste Gorin, Une étude de l'arbelos, de Baptiste Gorin [PDF]
• (en) Harold P. BoasHarold P. Boas, Reflections on the Arbelos [PDF]
• (en) Site de Mathworld
• (en) Site de www.retas.de – Un diagramme interactif avec beaucoup des propriétés de Arbelos
• Parties 1 et 2 d'un article de Hamza Khelif sur l'arbelos, pour le site Images des maths (février 2014)