Polynôme réciproque

En algèbre, le polynôme aux inverses P* associé à un polynôme P de degré d sur un anneau A est un polynôme défini par :

$P^{*}=X^{d}P\left({\frac {1}{X}}\right).$

L'application P ↦ P* est une involution :

$\left(P^{*}\right)^{*}=P.$

Détails

Soit P un polynôme non nul et d son degré ; il existe (a_n)_n une suite de scalaires, tous nuls pour n > d. On peut ainsi écrire :

$P=\sum _{k=0}^{d}a_{k}X^{k}=a_{0}+a_{1}X+\ldots +a_{d}X^{d}.$

Alors le polynôme aux inverses de P est le polynôme :

$P*=\sum _{k=0}^{d}a_{d-k}X^{k}=a_{d}+a_{d-1}X+\ldots +a_{0}X^{d}.$

Réduction

L'application * qui à un polynôme P associe son polynôme aux inverses est diagonalisable, et de valeurs propres 1 et -1 (Preuve : le polynôme X² - 1 l'annule). En particulier, si le degré de P est pair, la dimension des deux sous-espaces propres de * est identique, égale à n/2. Si le degré de P est impair, en notant n = 2p + 1, alors :

$\dim {E_{+1}(*)}=p+1\quad {\text{et}}\quad \dim {E_{-1}(*)}=p.$