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La série 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯.
Comportement asymptotique de la courbe lissée. L'ordonnée à l'origine de la droite est −1/2[ 1] .
En mathématique , 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ , également écrit
∑
n
=
1
∞
n
0
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{0}}
,
∑
n
=
1
∞
1
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1^{n}}
ou simplement
∑
n
=
1
∞
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1}
, est une série divergente , ce qui signifie que la suite de ses sommes partielles ne converge pas vers une limite dans les nombres réels . La suite (1n ) est la suite géométrique de raison 1. À la différence de toutes les autres séries de raison rationnelle , la série géométrique de raison
1
{\displaystyle 1}
avec la série de Grandi de raison
−
1
{\displaystyle -1}
, ne converge ni dans les réels, ni dans les nombres p -adiques pour certains p . Dans la droite réelle achevée ,
∑
n
=
1
∞
1
=
+
∞
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }1=+\infty }
puisque la suite des sommes partielles est croissante et non majorée .
Quand la somme de n 0 apparaît dans des applications physiques , elle peut parfois être interprétée, par régularisation zêta , comme la valeur en s = 0 de la fonction zêta de Riemann
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
1
n
s
=
1
1
−
2
1
−
s
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
s
,
{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}\,,}
Les deux formules données ci-dessus ne sont cependant pas valides en 0 ; on peut donc essayer le prolongement analytique de la fonction zêta de Riemann,
ζ
(
s
)
=
2
s
π
s
−
1
sin
(
π
s
2
)
Γ
(
1
−
s
)
ζ
(
1
−
s
)
,
{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,}
ce qui donne (sachant que
Γ
(
1
)
=
1
{\displaystyle \Gamma (1)=1}
) :
ζ
(
0
)
=
1
π
lim
s
→
0
sin
(
π
s
2
)
ζ
(
1
−
s
)
=
1
π
lim
s
→
0
(
π
s
2
−
π
3
s
3
48
+
.
.
.
)
(
−
1
s
+
.
.
.
)
=
−
1
2
.
{\displaystyle \zeta (0)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \zeta (1-s)={\frac {1}{\pi }}\lim _{s\rightarrow 0}\ \left({\frac {\pi s}{2}}-{\frac {\pi ^{3}s^{3}}{48}}+...\right)\ \left(-{\frac {1}{s}}+...\right)=-{\frac {1}{2}}.\!}
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯