Équation de Tsiolkovski

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L'équation de Tsiolkovski est l'équation fondamentale de l'astronautique reliant l'accroissement de vitesse au cours d'une phase de propulsion d'un astronef doté d'un moteur à réaction au rapport de sa masse initiale à sa masse finale.

On la doit à Constantin Tsiolkovski et, indépendamment, à Hermann Oberth.

Énoncé[modifier | modifier le code]

L'équation de Tsiolkovski s'écrit :

\Delta v = v_e \, \ln \frac{m_i}{m_f}

où :

  • \Delta v est la variation de vitesse entre le début et la fin de la phase propulsée considérée ;
  • v_e est la vitesse d'éjection des gaz ;
  • m_i est la masse totale de l'astronef au début de la phase propulsée (indice i pour initial) ;
  • m_f est la masse totale de l'astronef à l'issue de la phase propulsée (indice f pour final), exprimée dans la même unité que m_i ;
  • \ln est la fonction logarithme népérien.

Établissement[modifier | modifier le code]

Démonstration[modifier | modifier le code]

Cette équation est établie en intégrant l'équation de conservation de la quantité de mouvement entre le début et la fin de la phase propulsée sous les hypothèses suivantes :

  • l'étude du mouvement est faite dans un référentiel d'inertie ;
  • l'astronef n'est soumis qu'à la force de poussée fournie par ses moteurs, aucune autre action extérieure (gravité, efforts aérodynamiques) n'est prise en compte (voir à la fin de l'article pour la prise en compte de la gravité) ;
  • la vitesse d'éjection des gaz est constante.

À un instant donné, lorsque le vaisseau de masse m se déplaçant à la vitesse \vec{v} éjecte une petite quantité d'ergol à la vitesse \vec{v_e}, on note dm sa variation de masse[1] et d\vec{v} sa variation de vitesse. La variation de quantité de mouvement du système isolé (vaisseau + ergol éjecté) est nécessairement nulle, il vient donc :

m \cdot d\vec{v} + (-dm) \cdot \vec{v_e} = \vec{0}.

Pour obtenir la variation de vitesse \Delta \vec{v} de l'astronef quand sa masse passe de m_0 à m_f, on peut intégrer cette petite variation de vitesse :

\Delta \vec{v} = \int_{\vec{v}=\vec{v_0}}^{\vec{v_f}} d\vec{v} = \int_{m=m_0}^{m_f} \frac{\vec{v_e}}{m}dm = \vec{v_e} \int_{m_0}^{m_f} \frac{dm}{m} = \vec{v_e} \ln \frac{m_f}{m_0} = - \vec{v_e} \ln \frac{m_0}{m_f}.

Puisque m_0 > m_f, \ln (m_0 / m_f) > 0, la variation de vitesse du vaisseau a donc comme prévu la même direction que la projection des ergols et en sens opposé.

Commentaires[modifier | modifier le code]

Il est souvent dit que pour trouver cette équation, il faut que le débit massique d'ergol soit constant pendant la phase de propulsion ; mais ce n'est pas obligatoire, même si cela simplifie le travail d'intégration dans un premier temps.

L'équation est valable aussi bien lors d'une phase d'accélération (la poussée est dans la direction de la vitesse, \Delta v est positif : c'est un accroissement de vitesse) ou de décélération (la poussée est de direction opposée à la vitesse, \Delta v est négatif : c'est une réduction de vitesse).

La différence entre la masse initiale m_i et la masse finale m_f correspond à la masse que la fusée a éjectée durant sa propulsion ; on appelle cette masse éjectée la masse d'appui (« d'appui » parce que c'est la masse sur laquelle la fusée s'est appuyée pour se propulser).

La projection de masse d'appui est d'ailleurs la seule façon de se déplacer dans l'espace (même la propulsion à voile solaire se fait par modification de la quantité de mouvements du vent solaire).

Pour les fusées thermo-chimiques (Ariane, Soyouz, Navette, etc.), la masse d'appui est la masse des ergols (poudre, ou dioxygène et dihydrogène) et cette masse d'appui est également source d'énergie chimique : C'est donc la masse d'appui elle-même qui contient l'énergie qui servira à sa propre éjection.

Ce n'est plus le cas pour les moteurs ioniques (qui représentent sans doute l'avenir de la conquête spatiale). Ceux-ci sont régis tout pareillement par l'équation de Tsiolkovski, mais leur masse d'appui est constitué d'un gaz neutre (du xénon) ; c'est la très forte vitesse d'éjection de cette masse d'appui qui rend ces moteurs très économes en masse d'appui (il leur faut cependant une source d'énergie pour réaliser l'éjection). À ce titre, le fonctionnement des moteurs ioniques est comparable à celui des fusées à eau dans lesquelles l'eau n'est utilisée que pour sa masse (l'énergie résidant dans l'air comprimé).

Dans le cas où la phase propulsée est réalisée aux moyens de plusieurs étages fonctionnant successivement, la même équation de Tsiolkovski peut être utilisée pour le vol de chaque étage. On peut ainsi montrer l'intérêt de telles fusées à plusieurs étages. Voir l'exemple dans la section suivante.

Malgré l'apparente simplicité de cette équation et des hypothèses qui la sous-tendent, elle constitue une approximation utile au calcul des manœuvres de changement d'orbite, ces manœuvres étant qualifiées d'impulsionnelles, c’est-à-dire effectuées en un temps suffisamment bref pour que les hypothèses de l'équation de Tsiolkovski restent approximativement valables.

Temps nécessaire[modifier | modifier le code]

Si le vaisseau utilise un débit massique d'ergol constant q on peut écrire :

\Delta t = \frac{\Delta m}{q}.

Or l'équation de Tsiolkovski peut s'écrire :

\frac{\Delta v}{v_e} = \ln \frac{m_0}{m_0 - \Delta m}.

C'est-à-dire, en changeant de signe et en passant à l'exponentielle :

\frac{m_0 - \Delta m}{m_0} = e^{- \Delta v / v_e}.

On en tire l'expression de \Delta m qu'on reporte dans celle de \Delta t :

\Delta t = \frac{m_0}{q} \, \left(1 - e^{- \Delta v / v_e }\right).

Exemple[modifier | modifier le code]

L'exemple qui suit a pour objet de montrer l'intérêt des fusées à plusieurs étages.

Soit une fusée à deux étages ayant les caractéristiques suivantes :

  • la masse d'ergols embarqués par chaque étage (premier étage : 100 tonnes ; deuxième étage : 20 tonnes) représente 10 fois sa masse à vide ;
  • la vitesse d'éjection des gaz est de 4 000 m/s.

et supposons qu'elle emporte une charge utile de 2 t. Résumons ces données dans un tableau :

Étage Masse d'ergols
(t)
Masse à vide
(t)
Masse totale
(t)
Vitesse d'éjection des gaz
(m/s)
Premier étage m_{e\mathfrak{1}}=100 m_{v\mathfrak{1}}=10 m_{t\mathfrak{1}}=110 v_e=4\,000
Deuxième étage m_{e\mathfrak{2}}=20 m_{v\mathfrak{2}}=  2 m_{t\mathfrak{2}}= 22 v_e=4\,000
Charge utile m_{{cu}}=2
Total fusée m_{e\mathfrak{ }}=120 m_{v\mathfrak{ }}=12 m_{t\mathfrak{ }}=134


On peut alors mener les calculs d'incréments de vitesse, comme suit, en employant deux fois l'équation de Tsiolkovski, aux étapes 3 et 6 :

Étape de calcul Formule Masse
(t)
Vitesse
(m/s)
1 Masse à l'allumage du premier étage m_{i\mathfrak{1}} = m_{t\mathfrak{ }} 134
2 Masse à l'extinction du premier étage m_{f\mathfrak{1}} = m_{i\mathfrak{1}} - m_{e\mathfrak{1}} 34
3 Incrément de vitesse du premier étage \Delta v_1 = v_e\ln{\tfrac{m_{i\mathfrak{1}}}{m_{f\mathfrak{1}}}} 5\,486
4 Masse à l'allumage du second étage m_{i\mathfrak{2}} = m_{f\mathfrak{1}} - m_{v\mathfrak{1}} 24
5 Masse à l'extinction du second étage m_{f\mathfrak{2}} = m_{i\mathfrak{2}} - m_{e\mathfrak{2}} 4
6 Incrément de vitesse du deuxième étage \Delta v_2 = v_e\ln{\tfrac{m_{i\,2}}{m_{f\,2}}} 7\,167
7 Vitesse finale \!\,\Delta v = \Delta v_1 + \Delta v_2 12\,653


Par comparaison, une fusée comportant un seul étage avec la même quantité totale d'ergols (120 t) et la même masse à vide totale (12 t) imprimerait à une charge utile de même masse (2 t) une vitesse environ 30 % inférieure :

Étape de calcul Formule Masse
(t)
Vitesse
(m/s)
1 Masse à l'allumage de l'étage (unique) m_{i\mathfrak{}} = m_{t\mathfrak{ }} 134
2 Masse à l'extinction de l'étage m_{f\mathfrak{}} = m_{i\mathfrak{}} - m_{e\mathfrak{}} = m_{v\mathfrak{}} + m_{cu\mathfrak{}} 14
3 Vitesse finale \Delta v = v_e\ln{\tfrac{m_{i}}{m_{f}}} 9\,034

Pertes par pesanteur[modifier | modifier le code]

Les calculs ont été effectués dans l'hypothèse d'une absence de pesanteur (manœuvres en orbite). Lorsque cette gravité agit, un terme simple doit être ajouté à l'équation de Tsiolkovski. Celle-ci devient :

\Delta v = v_e \, \ln \frac{m_0}{m_1} - gT

g étant l'accélération locale de la pesanteur et T la durée de la propulsion (qui est également le temps durant lequel cette pesanteur agit). Le terme gT est appelé perte par pesanteur. On fait l'hypothèse que g est constant pendant la propulsion (alors que g diminue légèrement avec l'altitude).

Annexes[modifier | modifier le code]

  1. Naturellement dm < 0. La masse d'ergol éjecté est donc -dm.