Utilisateur:Ohper/Projet espace de Hardy

Les espaces de Hardy sont des espaces de fonctions analytiques sur le disque unité $\mathbb {D}$.

Le cas hilbertien : L'espace $H^{2}(\mathbb {D} )$

Définition

Soit $f\in Hol(\mathbb {D} )$, on sait que $f$ admet un développement de Taylor en 0 sur le disque unité :

$f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }\,{\hat {f}}(n)\ z^{n}$ pour tout $z$ dans $\mathbb {D}$.

On dit alors que $f$ est dans l'espace de Hardy $H^{2}(\mathbb {D} )$ si la suite $({\hat {f}}(n))$ appartient à $\ell _{2}$ . Autrement dit on a :

$H^{2}(\mathbb {D} )=\lbrace f\in Hol(\mathbb {D} ):\sum _{n=0}^{+\infty }\,\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}<+\infty \rbrace$

On définit alors la norme de $f$ par :

$\vert \vert f\vert \vert _{2}:=(\sum _{n=0}^{+\infty }\,\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2})^{\frac {1}{2}}$

Exemple

la fonction définie $z\rightarrow Log(1-z)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}$ appartient à $H^{2}(\mathbb {D} )$.

Une autre expression de la norme

Pour $f\in Hol(\mathbb {D} )$ et pour $0\leq r<1$ on définit :

$M_{2}(f,r):={({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{2}\,dt)}^{\frac {1}{2}}$

• la fonction $r\longrightarrow M_{2}(f,r)$ est croissante sur $[0,1[$.
• $f\in H^{2}(\mathbb {D} )$ si et seulement si $\displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)<+\infty }$ et on a :

$\vert \vert f\vert \vert _{2}^{2}=\lim _{r\rightarrow 1-}{{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{2}\,dt}=\sup _{0\leq r<1}{{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{2}\,dt}$

Démonstration

• Posons $z=re^{it}$ où $r\in [0,1[$ et $t\in [-\pi ,\pi ]$. On a :

$f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)z^{n}{\hbox{ donc }}f(re^{it})=\sum _{n=0}^{+\infty }{\hat {f}}(n)r^{n}e^{int}$

Alors par la formule de Parseval on a :

$M_{2}(f,r)^{2}=\sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}$

Cette formule prouve la première assertion.

• Si $f\in H^{2}(mathbb{D})$, la formule précédente montre que $M_{2}(f,.)$ est une fonction croissante, bornée donc $\displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)}$ existe et d'après le théorème de convergence monotone cette limite est égale à $\vert \vert f\vert \vert _{2}$. Réciproquement si $\displaystyle {\lim _{r\rightarrow 1-}M_{2}(f,r)=M<+\infty }$, pour chaque $N\geq 0$, on a par croissance de $M_{2}(f,r)$ :

$\sum _{n=0}^{N}\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert ^{2}r^{2n}\leq M^{2}$

En passant à la limite quand $r$ tend vers $1^{-}$ puis quand $N$ tend vers $+\infty$ on obtient la deuxième assertion.

Quelques propriétés de l'espace $H^{2}(\mathbb {D} )$

• L'espace de Hardy $H^{2}(\mathbb {D} )$ est isomorphiquement isométrique (en tant qu'espace vectoriel) à $\ell _{2}$. C'est donc un espace de Hilbert.

Démonstration

On considère l'application $T:H^{2}(\mathbb {D} )\rightarrow \ell _{2}$ définie par $T(f)=({\hat {f}}(n))$. Celle-ci est bien définie par définition de $H^{2}(\mathbb {D} )$, elle est clairement linéaire. Par unicité du développement en série entière elle est injective, il reste à montrer qu'elle est surjective.

Soit $(a_{n})\in \ell _{2}$, $(a_{n})$ est bornée donc la série entière f définie par $f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}z^{n}$ a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1, en particulier $f\in Hol(\mathbb {D} )$ et $T(f)=(a_{n})$. T est donc bien surjective.

• Pour tout $f\in H^{2}(\mathbb {D} )$ et pour tout $z$ dans $\mathbb {D}$ on a :

$\vert f(z)\vert \leq {\frac {\vert \vert f\vert \vert _{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}$

Démonstration

On va appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz au développement en série de Taylor de $f$ en 0, on a alors pour tout $z$ dans $\mathbb {D}$ :

$\vert f(z)\vert \leq \sum _{n=0}^{+\infty }\vert {\hat {f}}(n)\vert \vert z\vert ^{n}\leq \vert \vert f\vert \vert _{2}\,{(\sum _{n=0}^{+\infty }\vert z\vert ^{2n})}^{\frac {1}{2}}$ $={\frac {\vert \vert f\vert \vert _{2}}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}\;\;\;\;\;$

Cela signifie que l'application linéaire d'évaluation $f\rightarrow f(z)$ de $H^{2}(\mathbb {D} )$ dans $\mathbb {C}$ est continue pour tout $z$ dans $\mathbb {D}$ et sa norme est plus petite que :

${\frac {1}{\sqrt {1-\vert z\vert ^{2}}}}$

En fait on peut montrer que la norme est exactement égale à cette constante.

• La topologie faible de la boule unité de $H^{2}(\mathbb {D} )$ coïncide avec la topologie de la convergence uniforme sur tout compact.

Les deux prochaines propriétés proviennent sont alors des conséquences directes de cette dernière.

• Soit $(f_{n})$ une suite d'éléments de $H^{2}(\mathbb {D} )$ qui converge en norme vers $f$ alors $(f_{n})$ converge uniformément sur tout compact de $\mathbb {D}$ vers $f$.

• Soit $(f_{n})$ une suite d'éléments de $H^{2}(\mathbb {D} )$ incluse dans la boule unité. Alors on peut en extraire une sous-suite qui converge uniformément sur tout compact de $\mathbb {D}$.

Le cas général

Définition

Pour $0<p<+\infty$ on définit l'espace de Hardy $H^{p}(\mathbb {D} )$ comme étant l'espace des fonctions analytiques $f$ sur le disque unité telles que :

$\sup _{0<r<1}(\int _{0}^{2\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{p}{\frac {dt}{2\pi }})<+\infty$

On définit alors :

$\vert \vert f\vert \vert _{p}=\sup _{0<r<1}{(\int _{0}^{2\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{p}{\frac {dt}{2\pi }})}^{\frac {1}{p}}$

Quelques propriétés

• Pour $p\geq 1$, $H^{p}(\mathbb {D} )$ est un espace de Banach.
• Soit $f\in H^{p}(\mathbb {D} )$ pour $p\geq 1$. Alors pour presque tout $t$ (au sens de la mesure de Lebesgue) :

$f^{*}(e^{it}):=\lim _{r\rightarrow 1-}f_{r}(e^{it})$

existe et l'application $f\rightarrow f^{*}$ est une isométrie de $H^{p}(\mathbb {D} )$ sur le sous-espace $H_{*}^{p}$ de $L^{p}([0,2\pi ],{\frac {dt}{2\pi }})$ où :

$H_{*}^{p}=\lbrace f\in L^{p}([0,2\pi ],{\frac {dt}{2\pi }}),\,{\hat {f}}(n)=0\,\,\,\forall n\leq -1\rbrace$

• On a une autre caractérisation de la norme grâce aux propriétés des fonctions sous-harmoniques :Pour toute $f\in H^{p}(\mathbb {D} )$, on a :

$\vert \vert f\vert \vert _{p}=\lim _{0<r<1}{(\int _{0}^{2\pi }\vert f(re^{it})\vert ^{p}{\frac {dt}{2\pi }})}^{\frac {1}{p}}$

Bibliographie

• Peter L. Duren : Theory of Hp Spaces.