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Arithmétique et écriture binaire ou dans d’autres bases

ATTENTION !

L’expérience montre que les étudiants qui ont des difficultés de compréhension et de calcul dans un système de numération non décimal ont, en fait, une pratique totalement insuffisante du système de numération décimal. Il sera donc souvent utile de partir d’exemples en base 10 pour s’aider dans les autres bases.

Les ensembles de nombres

Ensembles des nombres

Ensembles des nombres

• $\mathbb {N}$ est l'ensemble des naturels, c'est-à-dire les entiers positifs (0 compris)
• $\mathbb {Z}$ est l'ensemble des nombres entiers, positifs et négatifs. On les appelle aussi entiers relatifs.
• $\mathbb {Q}$ est l'ensemble des nombres rationnels, c'est-à-dire ceux qui peuvent s'exprimer comme le quotient de deux nombres entiers
• $\mathbb {R}$ est l'ensemble des nombres réels, il complète $\mathbb {Q}$ par l'ensemble des nombres irrationnels, dont une grande partie sont les nombres transcendants.
• $\mathbb {C}$ est l'ensemble des nombres complexes ; il contient tous les nombres de la forme $a+bi$ où $a$ et $b$ sont des réels et $i$ est le nombre imaginaire, défini par $i^{2}=-1$.

Multiples et diviseurs

• Multiple : on dit qu'un entier $a$ est multiple d'un entier $b$ s'il existe un entier $c$ tel que $a=b\times c$.
• Diviseur : dans une division entière, le diviseur est le nombre entier par lequel on divise un autre nombre entier (appelé dividende).
• Quotient : le quotient est le résultat de la division du dividende par le diviseur. Ce quotient peut être entier ou fractionnaire.
• Reste : le reste d'une division entière est la différence entre le dividende et le produit du diviseur par le quotient entier.
• Diviseur : (d’un nombre) : Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs. S'il existe un entier relatif $x$ tel que $a=b\times x$, on dit que $b$ est un diviseur de $a$.

Nombres premiers

• Définition : un nombre premier n est un entier naturel ne possédant que deux diviseurs entiers naturels, $1$ et $n$ lui-même.
• Pour tester si un nombre $n$ est premier, il suffit de vérifier qu’il ne possède pas de diviseur premier compris entre $2$ et ${\sqrt {n}}$
• La suite des nombres premiers commence par $2,\,3,\,5,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23,\ldots$
• Cette suite est irrégulière, on ne connait pas à ce jour une formule donnant directement le Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle \rm{n}^{\rm{ème}}} nombre premier. On sait cependant qu’il en existe une infinité.

Le monde des nombres premiers est un monde passionnant qui a donné et qui donne encore beaucoup de résultats notamment extrêmement utiles en informatique (codage, sécurité, etc.).

La méthode la plus simple pour déterminer la suite des nombres premiers inférieurs à un entier $n$ donné est le crible d’Eratosthène. Le mécanisme consiste à écrire tous les naturels compris entre $2$ et $n$ et à rayer les uns après les autres, en commençant par le plus petit, les entiers qui ne sont pas premiers de la manière suivante : dès que l'on trouve un entier qui n'a pas encore été rayé, il est déclaré premier, et on raye tous les autres multiples de celui-ci. Lorsque le premier entier non rayé dépasse ${\sqrt {n}}$, le processus est terminé, et les entiers non rayés forment l’ensemble des nombres premiers cherché.

Opérateurs

• div (quotient de la division entière) : si $a$ et $b$ sont des entiers, alors $a\;div\;b$ délivre le quotient entier par défaut de ${\frac {a}{b}}$.
• mod (reste de la division entière) : si $a$ et $b$ sont des entiers, alors $a\;mod\;b$ délivre le reste par défaut de ${\frac {a}{b}}$.
• ppcm (plus petit commun multiple) : le ppcm d'entiers naturels est le plus petit multiple non nul commun à ces deux entiers.
• pgcd (plus grand commun diviseur) : le pgcd d'entiers naturels est le plus grand diviseur commun à ces deux entiers.

Factorielle d’un nombre

Le produit des $n$ premiers entiers naturels, qui sont donc inférieurs à $n$, $1\times 2\times 3\times 4\times \cdots \times n$ s'écrit $n!$ et se nomme factorielle de $n$.

Par exemple :

• $5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$
• $6!=6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=6\times 5!=720$

Attention, par définition, $0!=1$.

Le signe de sommation

C’est le symbole $\sum$.

Il permet d’écrire de façon condensée une somme de termes semblables à un élément $i$ près qui varie de $1$ en $1$ entre deux nombres entiers $m$ et $n$ ($m<n$). Il est important de bien le comprendre et de pouvoir le manier correctement.

De plus, il s’apparente à la boucle de type « pour » en informatique.

Exemples :

$\sum _{i=m}^{n}i$, $\sum _{i=m}^{n}a^{i}$, $\sum _{i=m}^{n}a_{i}$, $\sum _{k=m}^{n}2aki^{3}$

Puissances

Condenser une multiplication

Si $b$ est un nombre non nul quelconque et $n$ un entier naturel, l'écriture $b^{n}$ désigne le produit $\underbrace {b\times b\times b\times b\times \cdots \times b} _{n\,\mathrm {facteurs} }$ et se lit « b puissance n » ou encore « b exposant n ».

Quelques cas particuliers :

Pour $n\neq 0$ : $0^{n}=0$ et $1^{n}=1$.

Pour $b\neq 0$ : $b^{0}=1$ et $b^{1}=b$.

L'inverse

L'inverse de $b$,${\frac {1}{b}}$ , peut se noter $b^{-1}={\frac {1}{b}}$ et ${\frac {1}{b^{n}}}$se note $b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}$ .

Propriétés des puissances

$b^{n}\cdot b^{m}=b^{n+m}$
${\frac {b^{n}}{b^{m}}}=b^{n-m}$
$\left(b^{n}\right)^{m}=b^{n\times m}$
${\frac {1}{b^{n}}}=b^{-n}$
$\left(a\times b\right)^{n}=a^{n}\times b^{n}$
$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

Puissances fractionnaires

$a^{\frac {1}{2}}={\sqrt {a}}$
$a^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{a}}$
$a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}$

Puissances de 10

Dans notre système de numération, elles sont particulièrement intéressantes pour simplifier l'écriture des grands et des petits nombres.

$10^{3}=10\times 10\times 10=1\,000$
$10^{n}=\underbrace {10\times 10\times \ldots \times 10} _{n\;\mathrm {termes} }=1\underbrace {000\cdots 00} _{n\;\mathrm {z{\acute {e}}ros} }$
$10^{-3}={\frac {1}{10^{3}}}={\frac {1}{1\,000}}=0,001$
$10^{-n}={\frac {1}{10^{n}}}={\frac {1}{\underbrace {10\times 10\times \ldots \times 10} _{n\;\mathrm {termes} }}}={\frac {1}{1\underbrace {00\cdots 00} _{n\;\mathrm {z{\acute {e}}ros} }}}=\underbrace {0,000\cdots 00} _{n\;\mathrm {z{\acute {e}}ros} }1$

Préfixes SI (Système internationnal des unités)

Dans le langage scientifique, une puissance de 10 s'indique par des préfixes grecs ou latins.

Facteur	Nom	Symbole	Facteur	Nom	Symbole
$10^{1}$	déca	da	$10^{-1}$	déci	d
$10^{2}$	hecto	h	$10^{-2}$	centi	c
$10^{3}$	kilo	k	$10^{-3}$	milli	m
$10^{6}$	méga	M	$10^{-6}$	micro	µ
$10^{9}$	giga	G	$10^{-9}$	nano	n
$10^{12}$	téra	T	$10^{-12}$	pico	p
$10^{15}$	péta	P	$10^{-15}$	femto	f
$10^{18}$	exa	E	$10^{-18}$	atto	a
$10^{21}$	zetta	Z	$10^{-21}$	zepto	z
$10^{24}$	yotta	Y	$10^{-24}$	yocto	y

L'usage de ces préfixes est convenu internationalement, et est légalement obligatoire dans nos pays. Voir par exemple les préfixes SI au bureau international des poids et mesures.

Les symboles des préfixes sont écrits en caractères romains, comme les symboles d'unités, quelle que soit la police employée dans le reste du texte. Ils sont attachés aux symboles d'unités, sans espace entre le symbole du préfixe et celui de l'unité. À l'exception de da (déca), h (hecto), et k (kilo), tous les symboles des préfixes des multiples sont en majuscules, et tous les symboles des préfixes des sous-multiples sont en minuscules. Après les multiples da (déca), d (déci), h (hecto), c (centi), tous les multiples sont des multiples entiers de 3, et les puissances correspondantes multiples de 1000.

Tous les noms de préfixes sont en minuscules, sauf en début de phrase.

Le groupe formé d'un symbole de préfixe et d'un symbole d'unité constitue un nouveau symbole d'unité inséparable (formant un multiple ou sous-multiple de l'unité en question) qui peut être élevé à une puissance positive ou négative, et qui peut être combiné à d'autres symboles d'unités pour former des symboles d'unités composés.

Par exemples :

$1,4\;{\rm {{cm}^{3}=1,4\;({\rm {{cm})^{3}=1,4\;({\rm {{m}^{-2})^{3}=1,4\times 10^{-6}\;{\rm {{m}^{3}}}}}}}}}$

$1400\;{\rm {{\mu s}^{-1}=1400\;({\rm {{\mu s})^{-1}=1400\times (10^{-6}\;{\rm {{s})^{-1}=1400\times 10^{6}\;{\rm {{s}^{-1}=1,4\cdot 10^{9}\;Hz=1,4\;GHz}}}}}}}}$

Les bases 2 et 16 et leur utilité en informatique

La plupart des éléments électroniques que comporte un ordinateur sont bistables par nature, cela signifie qu'ils peuvent être dans l'un ou l'autre des deux états tels que : en service / hors service, magnétisés positivement ou négativement, vrai ou faux …. Ces deux états sont généralement notés par 0 et 1, qui sont également les chiffres correspondant au système de numération binaire.

Pour être traité par l'ordinateur, l'information doit être codée d'une manière quelconque en séquence de bits, c'est-à-dire en nombres binaires. Cependant, les informaticiens considèrent que des chaines telles que 110100110110 ou encore 110101100110 … sont difficiles à mémoriser et/ou à distinguer.

Les systèmes octal (base=8) et hexadécimal (base=16) ont été développés pour lire très facilement le langage machine et « débugger » les programmes. En effet, d'une part, 8 et 16 sont tous les deux des puissances de 2, ce qui assure (comme nous le verrons) une conversion presque immédiate entre ces systèmes et le système binaire et, d'autre part, parce que les systèmes octal et hexadécimal sont comparables au système décimal en ce qui concerne la compacité.

Imaginons que, comme les pionniers de l’informatique, nous construisions avec des lampes, des fils, des interrupteurs, etc, un calculateur que nous nommons X. Ceux qui ont visité des expositions scientifiques ont peut-être pu voir des réalisations de ce type. Pour simplifier, nous construisons une mémoire faite de mots de 4 « bits ». Nous imaginons ensuite des opérations (recopier, =, ¬, +, -, etc) que nous voudrions faire réaliser par X sur le contenu des mots de la mémoire et nous construisons l’unité arithmétique et logique. On remarquera d’abord que, en fonction de l’opération qui est réalisée, le contenu du mot sera « compris » différemment (contenu alphabétique si l’opération recopie, contenu logique si l’opération est une négation, etc.). Les opérations arithmétiques « comprendront » le contenu du mot comme un nombre. Quels nombres peuvent être représentés sur 4 bits ? Certaines opérations « verront » les nombres entiers de 0 à 15, d’autres, les nombres entiers de –8 à 7. On se familiarisera avec les notions de base 2, de base 16 et de complément à 2 en base 2 en jouant avec X.

Il n’a pas fallu attendre l’ordinateur, pour que l’homme dû employer les notions de chiffre et de base. Dès que le problème s’est posé de représenter les nombres, ces notions se sont précisées progressivement.

Quand la notion de nombre est-elle apparue ? On pense souvent que cette apparition est liée au besoin de compter ses troupeaux et ses richesses, compter les jours pour les semailles, etc. ... En réalité, cette vision des choses est très schématique et peut-être fausse, au moins en partie; les découvertes archéologiques et les travaux d’interprétation historique semblent apporter constamment de nouvelles questions à ce sujet.

Une autre question est de savoir quand on a commencé à écrire les nombres : vraisemblablement au moment de l’apparition de l’écriture, au Proche-Orient, durant le quatrième millénaire avant Jésus-Christ.

Toutes les grandes civilisations ont utilisé un ou plusieurs systèmes de numération (on retrouve notamment les bases 10, 20, 60). La plupart ont adopté un système de numération de position; il est à remarquer que les romains ne l’ont pas fait.

Préfixes binaires

Dans le monde informatique, les capacités des mémoires centrales sont des puissances de 2. Pour cette raison, on exprime fréquemment ces capacités en terme de multiple de 1024 ($=2^{10}$), ou de puissances de 1024. En vue d'éviter toute confusion avec les puissances de 10 et 1000, il est recommandé d'utiliser les préfixes binaires plutôt que les préfixes décimaux, là où nécessaire (http://physics.nist.gov/cuu/Units/binary.html) :

puissance	valeur	nom	préfixe	valeur décimale proche
$2^{10}$	1 024	kibi	Ki	$10^{3}$
$2^{20}$	1 048 576	mébi	Mi	$10^{6}$
$2^{30}$	1 073 741 824	gibi	Gi	$10^{9}$
$2^{40}$	1 099 511 627 776	tébi	Ti	$10^{12}$
$2^{50}$	1 125 899 906 842 624	pébi	Pi	$10^{15}$
$2^{60}$	1 152 921 504 606 846 976	exbi	Ei	$10^{18}$
$2^{70}$	1 180 591 620 717 411 303 424	zébi	Zi	$10^{21}$
$2^{80}$	1 208 925 819 614 629 174 706 176	yobi	Yi	$10^{24}$

Les préfixes SI représentent strictement des puissances de 10. Ils ne doivent pas être utilisés pour exprimer des puissances de 2.

Un kibioctet s'écrit : 1 KiB = $2^{10}$ B = 1024 B, où B désigne l'octet. Bien que ces préfixes n'appartiennent pas au SI, ils doivent être utilisés en informatique afin d'éviter un usage incorrect des préfixes SI. Un kilobit représente donc 1000 bits et non 1024 bits. C'est une erreur même si elle est courante d'utiliser les préfixes du SI pour des puissances de 2. Pour l'anecdote, en 2007, le fabricant de disques durs Seagate a été poursuivi en justice pour « vendre des disques de 8 GB » alors que l'indication du système d'exploitation indiquait 7 % en moins. Ceci provenait bien sûr d'une méconnaissance des acheteurs, mais Seagate a temporairement accepté de dédommager !

Les préfixes adoptés par la CEI, l'organisme international qui a défini les préfixes officiels, pour les puissances binaires sont publiés dans la norme internationale CEI 60027-2 : 2005, 3e édition, Symboles littéraux à utiliser en électrotechnique – Partie 2 : Télécommunications et électronique.