Utilisateur:Jeandavid54/Mathématique de l'impossible

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En mathématiques, la division par zéro est interdite sinon impossible.

Car diviser un nombre par zéro n'a pas de sens réel et se bute à l'opération inverse, la multiplication par zéro. Par exemple, a/0 n'existe pas car aucun nombre multiplié par 0 ne donnerait en retour a. Le zéro est dit absorbant pour la multiplication donc annule la possibilité.

Et pourtant, ce qui est étonnant c'est que, 1/∞=0 étant vrai, l'inverse des 2 membres devrait permettre de donner : ∞=1/0. Et bien, non !

Mais si on outrepasse cette interdiction, où cela nous amène-t-il ? A l'instar de la définition de i = √ -1 qui a permis de définir l'ensemble des nombres complexes, commençons regarder où cela peut nous mener cette division impossible : les zNombres.

Définition[modifier | modifier le code]

Les zNombres sont des nombres composés par la division par zéro.

${\tfrac {x}{0}}$ n'existe pas mais essayons de créer ce nombre "tabou".

Soit ${\tfrac {x}{0}}$ = zéro_barré avec x, un nombre quelconque.

On a par opération inverse, zéro_barré * 0 = x, x est alors appelé la zValeur de l'opération. Ici, la zValeur prend toutes les valeurs possibles pour zéro_barré. Comme x est quelconque, zéro_barré = ensemble de tous les nombres = {N,Z,Q,R,C}. Zéro_barré peut être considéré comme un quasi_ensemble.

(NB : à l'instar du qBit en calcul quantique, on peut dire que zéro_barré est un zNombre non décorrélé.)

Symboles proposés

zéro_barré = Ø
pour une valeur a donnée, Ø_a = ${\tfrac {a}{0}}$ ou encore un "a barré" a : par exemple, a=1; 1/0 = Ø₁ = 1.

Le zNombre Ø_a est dit "décorrélé" par sa zValeur a.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Ce zéro_barré a des propriétés suivantes :

Multiplication avec zéro[modifier | modifier le code]

zéro_barré * 0 ≠ 0 car zéro n'est pas absorbant pour les zNombres.

Ø * 0 ≠ 0

Ø₀ = 0/0 = 0 ≠ 0

Ø₀*0 = 0 car Ø₀ a la zValeur = 0.

Les zNombres Ø_a[modifier | modifier le code]

Ø_a * 0 = a * 0 = a (remarque : 0 perd sa propriété de l'élément absorbant dans la multiplication et acquiert ici la propriété d'élément régénérant)

${\tfrac {a}{0}}$ ≠ ${\tfrac {b}{0}}$ (car si a ≠ b, a*zéro_barré ≠ b*zéro_barré)

Ø_a ≠ Ø_b

Addition/Soustraction[modifier | modifier le code]

${\tfrac {a}{0}}$ + ${\tfrac {b}{0}}$ = ${\tfrac {(a+b)}{0}}$

Ø_a + Ø_b = Ø_(a+b)

avec un réel : a + Ø_b = Ø_a * 0 + Ø_B

Multiplication[modifier | modifier le code]

a*Ø_b = a*(b/0) = (a*b)/0 = Ø_a*b

a*Ø_a = a*(a/0) = a²/0 = Ø_a²

Le produit d'un zNombre avec zéro donne un réel :

  Ø_(a+b)* 0 = a+b

Le produit de 2 zNombres est un zNombre :

  Ø_a * Ø_b = Ø_(ab)

Division (à réfléchir car 2 possibilités)[modifier | modifier le code]

par zéro, Ø_a / 0 = Ø_a. Zéro est neutre pour la division.

La précédence de la division : Ø_a/a = (a/0)/a = (a/a)/0 = 1/0 = Ø₁ est plus cohérente avec le produit : en posant b=1/a, Ø_a * Ø_(1/a) = Ø_(a/a) = Ø₁ que la précédence de la multiplication avec un zéro absorbant : Ø_a/a = a/(0*a) = a/0 = Ø_a.

La division entre 2 zNombres est un réel :

  Ø_a / Ø_b = (a/0)/(b/0) = (a/0)* (0/b) = ((a/0) * 0) / b = a/b

Puissance[modifier | modifier le code]

Le zéro_barré ne s'élève pas en puissance : (zéro_barré)ⁿ = zéro_barré

Øⁿ = Ø

(Ø_a)ⁿ = $({\tfrac {a}{0}})^{n}$ = ${\tfrac {a^{n}}{0^{n}}}$ = ${\tfrac {a^{n}}{0}}$ = Ø_aⁿ

Inverse[modifier | modifier le code]

L'inverse des zNombres est zéro. En effet, 1/Ø_a = 1/(a/0) = 0/a = 0. Or dans une division entre zNombres, on ne néglige pas le dénominateur de 0/a (à voir).

Relation[modifier | modifier le code]

Le nombre Infini[modifier | modifier le code]

L'infini désigne un quasi-nombre alors que zéro_barré désigne un quasi_ensemble, un zNombre.

Ø ≠ ∞

Le zNombre infini s'écrit : ∞ / 0 = Ø_∞

Avec les réels[modifier | modifier le code]

Un zNombre égal à tout réel est Ø₀.

 car  si Ø_a = b, on a en multipliant par 0 les 2 membres : a = 0 donc Ø_a = Ø₀ = b

L'interaction multiplicative avec le réel 0 transforme un zNombre en un réel. (à comparer avec i des nombres complexes)

Conclusion[modifier | modifier le code]

On voit qu'il est possible de définir une nouvelle mathématique "zérotique" à partir du zéro_barré.

Références[modifier | modifier le code]

Zéro

Division par zéro

Création[modifier | modifier le code]

21 juillet 2012