Utilisateur:Jean-Luc W/Groupe de symétrie
Ceci est une page de brouillon de l'utilisateur : Jean-Luc W
Objectif de la page[modifier | modifier le code]
Le thème groupe de symétrie couvre un vaste pan du savoir aussi bien mathématiques que physique, chimique ou encore cryptographique. Plusieurs contributeurs réfléchissent à une manière de coordonner convenablement ces différents articles. Mahlerite a des idées sur une introduction didactique et simple dans le cas de groupe de symétrie de réseau cristallin. Utilisateur:Mathieu Perrin imagine des liens vers les représentations des groupes topologiques, Tizeff pense aux modes de vibrations des cristaux.
Personnellement et sur les mathématiques, je pense qu'il faut développer cette question pour la géométrie des nombres avec les idées de Minkowski. Klein propose des méthodes relativement simples de résolution du dernier théorème de Fermat pour n = 5 ou 7 qui utilise des groupes de symétries du groupe alterné d'indice 5 ou du groupe simple d'ordre 168. En théorie des groupes, cette méthode est indispensable pour classifier les groupes simples non abéliens. Enfin, il faudra bien aborder un jour la cryptographie.
Le sujet n'est pas simple car il regroupe le savoir de nombreux domaines. Ces différents domaines, sont partiellement connus par les contributeurs de WP qui maitrisent chacun une pièce de puzzle. L'objectif est de coordonner l'organisation du savoir en différents articles, bien connecté l'un à l'autre de manière à pouvoir répondre le mieux possible aux questions de nos lecteurs.
Vers une première idée de réforme[modifier | modifier le code]
Un axe directeur[modifier | modifier le code]
Une solution serait de travailler sur un cas simple, celui de la cristallographie. Cette approche possède de multiples avantages :
- Mathématiquement, cette configuration est relativement simple, ll n'existe que peu de groupes de symétrie laissant invariant un réseau de Bravais de dimension 2 ou 3.
- Le cas est déjà riche, il permet d'introduire les notions de stabilisateur, normalisateur, centralisateur, réseau de bravais, réseau dual, représentation d'un groupe fini ...
- Il offre de multiple débouchés : classification des cristaux, comportement des modes vibratoires, classification des solides de Platon pour commencer.
Les articles à créer ou à réformer[modifier | modifier le code]
A mon sens, il faudrait un article un peu technique sur le groupe ponctuel de symétrie d'un réseau de Bravais de dimension 2 et 3.
Il faudrait aussi un article sur les outils de base d'un groupe ponctuel de symétrie, expliquant la notion d'orbite, les rôle des normalisateurs et centralisateur. L'article pourrait aller jusqu'aux représentations des groupes finis.
Il faudrait extraire de réseau (géométrie) la partie sur la dimension 2 et 3, trop lourde pour favoriser des notions comme celle de réseau dual.
J'imagine que la classification des cristaux mérite un article expliquant les conséquences d'un tel groupe ponctuel de symétrie pour un cristal donné. Il expliquerait en quoi la classification par le groupe de symétrie fait sens.
La représentation des groupes finis apporte des idées sur les modes vibratoires ainsi que sur la résolution d'hamiltonien utile en mécanique quantique. Il faudrait savoir où développer les idées de cette nature et enrichir de liens pertinents les articles supports comme représentations des groupes finis ou certains articles sur les caractères. Ces articles supports doivent être enrichis en conséquence.
Enfin, on pourrait enrichir l'article sur les solides de Platon, et offrir une vision alternative plus élégante sur la manière de les considérer.
Un premier article[modifier | modifier le code]
J'imagine ouvrir un premier article nommé groupe de symétrie d'un réseau. Il serait possible de définir rigoureusement le groupe ponctuel et le groupe de symétrie propre. Dans un deuxième temps, on couvrirait les notions d'orbites, de stabilisateurs, centralisateurs et normalisateur. Ensuite ou pourrait traiter la dimension 2 et 3, pour terminer sur les représentations, la notion d'irréductibilité et de caractère.
Cette article devrait avoir pour conséquence une réforme profonde sur réseau (géométrie) et Groupe ponctuel de symétrie qui me semble tout deux bien incomplets et orientés.
Conclusion[modifier | modifier le code]
L'objectif de cette page est de favoriser une coordination entre les actions de Mahlérite, Mathieu Perrin, Tizeff et moi-même. Cette page est en conséquence à la disposition de ces contributeurs, ainsi qu'à tout ceux qui souhaitent nous aider sur ce vaste sujet. Jean-Luc W (d) 20 octobre 2008 à 11:17 (CEST)