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Calcul d’espérances mathématiques

L’espérance mathématique permet de définir sur un grand nombre d’épreuves le gain moyen d’une loi de probabilité.

Espérance mathématique associée à chaque enveloppe

Afin de déterminer le gain moyen obtenu par le choix d’une enveloppe, on associe à la première enveloppe (resp. la seconde) la variable aléatoire $X_{1}$ (resp. $X_{2}$).

La loi de probabilité de la variable aléatoire $X_{1}$ est l’ensemble des 2 solutions possibles proposées par le jeu ({valeur ; probabilité d’apparition}) :

$\{S;50\%\}$

$\{2S;50\%\}$

$S$ et $2S$ étant le deux montants possibles proposés par le jeu.

Pour la variable aléatoire $X_{2}$, l’ensemble est constitué de façon similaire

$\{2S;50\%\}$

$\{S;50\%\}$.

L’espérance du contenu de l’enveloppe 1 est par définition :

$E_{1}=E(X_{1})=50\%.S+50\%.2S=3/2.S$.

Pour l’enveloppe 2, on a de façon similaire :

$E_{2}=E(X_{2})=50\%.2S+50\%.S=3/2.S$.

On constate que $E_{1}=E_{2}=3/2.S$, ce qui est logique car les deux enveloppes ont un rôle identique.

Espérance mathématique associée à chaque changement

Si l'on change d’enveloppe, par exemple de l’enveloppe 1 à l’enveloppe 2, on obtient l’espérance $E_{12}$ d’obtenir le gain de l’enveloppe 2 moins celui obtenu avec l’enveloppe 1 :

$E_{12}=E(X_{2}-X_{1})=E(X_{2})-E(X_{1})$

Ceci est dû à la propriété de linéarité des calculs d’espérance.

On conclut $E_{12}=0$.

De façon similaire $E_{21}=E_{12}=0$.

Sur un grand nombre d’épreuves, on ne peut pas espérer de gain en permutant les choix des enveloppes.

Espérance mathématique associée à chaque changement (variante)

Si l’on considère les 2 changements possibles :

• passer d’un montant $S$ à un montant $2S$ ;
• passer d’un montant $2S$ à un montant $S$.

On obtient resp. deux gains possibles :

• le premier est positif de valeur $+S$ avec une probabilité d’apparition de 50% ;
• le second est négatif de valeur $-S$ avec une probabilité d’apparition de 50%.

Ceci définit une seconde loi de probabilité avec deux solutions possibles (valeur ; probabilité) :

$\{+S;50\%\}$

$\{-S;50\%\}$.

Cette seconde loi de probabilité a par définition une espérance :

$E_{ch}=1/2.S-1/2.S=0$.

$E_{ch}$ montre une façon différente d’écrire le calcul détaillé de $E_{12}$ ou de $E_{21}$.

On vérifie :

$E_{ch}=E_{12}=E_{21}=0$.

L'espérance $E_{ch}$ aboutit lui aussi à un gain moyen nul.

Espérance mathématique calculée par le présentateur

Il est intéressant de voir en quoi le raisonnement de l’animateur aurait un défaut. Celui-ci propose la formule suivante :

$E_{pr}=50\%.2M+50\%.M/2$

Où $M$ est le montant de l’enveloppe choisie. On ne note que l’on ne connait pas $M$ qui vaut soit $S$, soit $2S$.

Par définition de l’espérance mathématique d’une loi de probabilité, on obtient de cette formule les deux solutions {valeur ; probabilité d’apparition} :

$\{2M;50\%\}$ ;

$\{M/2;50\%\}$.

Pour ces deux solutions, il faut envisager les deux cas possibles $M=S$ et $M=2S$ :

• dans le premier cas, on obtient $(2S;50\%)$ et $(S/2;50\%)$ ;
• dans le second : $(4S;50\%)$ et $(S;50\%)$.

On constate que les solutions possibles $(S/2;50\%$) et $(4S;50\%$) sont contraires aux hypothèses et invalident le raisonnement du présentateur.

En examinant de plus près la formule du présentateur, ces deux solutions : $\{2M;50\%\}$ et $\{M/2;50\%\}$ définissent une autre loi de probabilité. Ainsi $E_{p}r$ correspond à un autre protocole :

• ouvrir l’enveloppe choisie,
• lire son contenu $M$,
• puis remplacer le contenu de la seconde par $2M$ ou $M$.
  
  

Le présentateur a commis une confusion entre deux lois de probabilité distinctes.

Remarques

Supposons que $E_{12}>0$. Que se passerait-il si l’on permutait plusieurs fois ? Il faudrait détailler les calculs de $E_{121}$, $E_{1212}$, etc. On pourrait conjecturer une impossibilité, par exemple obtenir les deux relations incompatibles $E_{121}>E_{12}>0$ et $E_{121}=E_{1}=0$.