Représentation d'interaction

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La représentation d'interaction ou représentation de Dirac de la mécanique quantique est une manière de traiter les problèmes dépendant du temps.

Condition d'application de la représentation d'interaction[modifier | modifier le code]

Dans la représentation d'interaction, on applique les hypothèses suivantes:

On considère un hamiltonien ayant la forme suivante :

 \hat H = \hat H_0 + \hat V(t)

\hat H_0 est constant dans le temps et \hat V(t) décrit une interaction perturbative qui peut dépendre du temps.

  • Les états propres sont dépendants du temps
  • Les opérateurs sont aussi dépendants du temps
  • La dynamique des états est décrite suivant la représentation de Schrödinger tandis que la dynamique des opérateurs est décrite suivant la représentation de Heisenberg.
  • La représentation de Dirac ne s'applique efficacement qu'à certains problèmes. L'exemple le plus parlant est celui des perturbations dépendant du temps.

Propagateurs[modifier | modifier le code]

Afin de reconnaître qu'on travaille dans la représentation d'interaction, les états et les opérateurs seront suivis de l'indice "I"(comme interaction). Le sens de cette représentation tient en ce que la dépendance en temps due à \hat H_0 sera prise en compte dans la dépendance explicite des observables en fonction du temps et la dépendance en temps due à \hat V(t) dans le développement de la fonction d'onde. C'est une autre façon de décrire la même physique. Ceci signifie que les grandeurs physiques significatives sont inchangées.

Il y a deux opérateurs d'évolution dans le temps:

  • l'opérateur "normal" relatif à l'hamiltonien complet\hat H
\hat U(t,t_0)=e^{-i\hat H(t-t_0)/\hbar}
  • l'operateur relatif à l'hamiltonien non perturbé \hat H_0
\hat U_0(t,t_0)=e^{-i\hat H_0(t-t_0)/\hbar}

Définition des hamiltoniens et fonction d'onde d'interaction[modifier | modifier le code]

L'opérateur dépendant du temps \hat A_I(t) s'écrit comme dans la représentation de Heisenberg

A_I(t)=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\hat A_S (t_0)\hat U_0(t,t_0)={\rm e}^{\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}}\hat A_S (t_0){\rm e}^{-\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}} \, .

l'état dépendant du temps |\psi(t)\rangle_I n'est accessible qu'indirectement, par réduction (dans la représentation de Schrödinger) de l'état de la dynamique complète |\psi(t)\rangle_{\rm S},afin de définir.

|\psi(t)\rangle_I =\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)|\psi(t)\rangle_S ={\rm e}^{\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}}|\psi(t)\rangle_S \, .

À partir de là nous définissons aussi l'opérateur dépendant du temps  H_I (t):


\hat H_I (t) ={\rm e}^{\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}}\hat H_0{\rm e}^{-\frac{i\,\hat H_0(t-t_0)}{\hbar}} \, = \hat H_0.

Équations d'évolution de la fonction d'onde et des observables[modifier | modifier le code]

L'évolution de la fonction d'état s'écrit dans cette représentation:

 i \hbar \frac{d}{dt} | \psi_{I} (t) \rang = \hat V_I (t) | \psi_{I} (t) \rang .

Cette équation est connue sous le nom d'équation de Schwinger-Tomonaga. L'évolution de la grandeur physique représentée par l'opérateur A s'écrit:

i\,\hbar\frac{{\rm d} \hat A_I}{{\rm d}t}=\left[\hat A_{\rm I}(t),\hat H_0\right] +i\,\hbar\frac{\partial \hat A_I }{\partial t}
Représentation :
Heisenberg Interaction Schrödinger
Ket constant |\Psi(t)\rangle_I = U_0^{-1} |\Psi(t)\rangle_S |\Psi(t)\rangle_S = U |\Psi(t_0)\rangle_S
Observable A_H (t)=U^{-1} A_S U A_I (t)=U_0^{-1} A_S U_0 constant
Opérateur d'évolution  \hat H = \hat H_0 + \hat V(t) U(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H(t-t_0)}
U_0(t,t_0) = e^{-\frac i \hbar \hat H_0(t-t_0)}
Mécanique quantique  : Théorème d'EhrenfestÉquation de SchrödingerPropagateur

Voir aussi[modifier | modifier le code]

  • A. Messiah, Mécanique Quantique (Dunod)
  • J. L. Basdevant, Cours de mécanique quantique de l'école Polytechnique (Ellipses)
  • J. J. Sakurai et s. F. Tuan, Modern Quantum Mechanics, Benjamin-Cummings 1985, Reading, Addison-Wesley 2003