Q0-matrice

En mathématiques, une $\mathbf {Q_{0}}$-matrice est une matrice carrée réelle apportant des propriétés particulières aux problèmes de complémentarité linéaire. Ce sont celles qui assurent l'existence d'une solution dès que le problème est réalisable.

Définitions

Quelques notations

Pour un vecteur $v\in \mathbb {R} ^{n}$, la notation $v\geqslant 0$ signifie que toutes les composantes $v_{i}$ du vecteur sont positives.

On note $\mathbb {R} _{+}^{n}:=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\geqslant 0\}$ l'orthant positif de $\mathbb {R} ^{n}$.

Si $A$ est une matrice d'ordre $n$, on note $A(\mathbb {R} _{+}^{n}):=\{Ax:x\geqslant 0\}$ l'image de $\mathbb {R} _{+}^{n}$ par $A$ ; c'est un cône polyédrique (donc un fermé).

Problème de complémentarité

Étant donnés une matrice réelle carrée $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ et un vecteur $q\in \mathbb {R} ^{n}$, un problème de complémentarité linéaire consiste à trouver un vecteur $x\in \mathbb {R} ^{n}$ tel que $x\geqslant 0$, $Mx+q\geqslant 0$ et $x^{\!\top }(Mx+q)=0$, ce que l'on écrit de manière abrégée comme suit :

${\mbox{CL}}(M,q):\qquad 0\leqslant x\perp (Mx+q)\geqslant 0.$

Un point $x$ vérifiant $x\geqslant 0$ et $Mx+q\geqslant 0$ est dit admissible pour le problème ${\mbox{CL}}(M,q)$ et l'ensemble

${\mbox{Adm}}(M,q):=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x\geqslant 0,~Mx+q\geqslant 0\}$

est appelé l'ensemble admissible de ce problème. On dit que le problème ${\mbox{CL}}(M,q)$ est réalisable si ${\mbox{Adm}}(M,q)\neq \varnothing$.

Q0-matrice

Pour $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, on introduit les deux cônes de $\mathbb {R} ^{n}$ suivants

${\begin{array}{rcl}Q_{R}(M)&:=&\{q\in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {CL} (M,q)~{\mbox{est réalisable}}\},\\Q_{S}(M)&:=&\{q\in \mathbb {R} ^{n}:\operatorname {CL} (M,q)~{\mbox{a une solution}}\}.\end{array}}$

Évidemment $Q_{S}(M)\subset Q_{R}(M)$, sans que l'on ait nécessairement égalité (c'est ce qui motive l'introduction de la notion de $\mathbf {Q_{0}}$-matrice). Le cône $Q_{R}(M)$ est convexe polyédrique car il s'écrit comme la somme de deux cônes convexes polyédriques :

$Q_{R}(M)=R_{+}^{n}-M(R_{+}^{n})$.

Au contraire, $Q_{S}(M)$ n'est pas nécessairement convexe. En réalité, on montre que $Q_{S}(M)$ est une réunion de cônes convexes polyédriques (disjoints quel que soit $q$ si et seulement si $M$ est suffisante en colonne) :

$Q_{S}(M)=\displaystyle \bigcup _{I\subset \{1,\ldots ,n\}}\,K_{I}(\mathbb {R} _{+}^{n})$,

où $K_{I}$ est la matrice dont les colonnes sont données par

$(K_{I})^{I}=-M^{I}\qquad {\mbox{et}}\qquad (K_{I})^{I^{c}}=I^{I^{c}}.$

On voit que les deux cônes dont $Q_{R}(M)$ est la somme sont contenus dans $Q_{S}(M)$ ; on les obtient en prenant $I=\varnothing$ et $I=\{1,\ldots ,n\}$. Ces observations conduisent à la définition suivante.

Q0-matrice — On dit qu'une matrice $M\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ est une $\mathbf {Q_{0}}$-matrice si elle vérifie l'une des conditions équivalentes suivantes :

1. le problème $\operatorname {CL} (M,q)$ a une solution s'il est réalisable,
2. $Q_{S}(M)=Q_{R}(M)$,
3. $Q_{S}(M)$ est convexe.

On note $\mathbf {Q_{0}}$ l'ensemble des $\mathbf {Q_{0}}$-matrices.

Annexes

Articles connexes

• Complémentarité linéaire
• P-matrice

Bibliographie

• (en) R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (2009). The linear complementarity problem. Classics in Applied Mathematics 60. SIAM, Philadelphia, PA, USA.