Lemme de transport

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie de la mesure, le lemme de transport est utilisé pour montrer que certaines applications sont mesurables.

Si $A$ est un ensemble et ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}\left(A\right)$ est un ensemble de parties de $A$, on notera $\sigma \left({\mathcal {C}}\right)$ la tribu engendrée par ${\mathcal {C}}$.

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux ensembles, $f:\;X\to Y$ une application et ${\mathcal {E}}\subset {\mathcal {P}}\left(Y\right)$ un ensemble de parties de $Y$, on a alors $f^{-1}\left(\sigma \left({\mathcal {E}}\right)\right)=\sigma \left(f^{-1}\left({\mathcal {E}}\right)\right)$.

Démonstration

On montre l'égalité par double inclusion :

• Sens $\supset$

  $f^{-1}\left(\sigma \left({\mathcal {E}}\right)\right)$ est une tribu (car elle vérifie la définition d'une tribu) et contient $f^{-1}\left({\mathcal {E}}\right)$ (car $\sigma \left({\mathcal {E}}\right)$ contient ${\mathcal {E}}$). Elle contient donc la tribu engendrée $\sigma \left(f^{-1}\left({\mathcal {E}}\right)\right)$.

• Sens $\subset$

  On considère l'ensemble ${\mathcal {S}}=\{B\in {\mathcal {P}}(Y)\;;\;f^{-1}(B)\in \sigma \left(f^{-1}\left({\mathcal {E}}\right)\right)\}$, qui est une tribu sur $Y$ (puisqu'il vérifie la définition d'une tribu) et qui contient ${\mathcal {E}}$. On a donc $\sigma \left({\mathcal {E}}\right)\subset {\mathcal {S}}$ et par suite $f^{-1}\left(\sigma \left({\mathcal {E}}\right)\right)\subset f^{-1}\left({\mathcal {S}}\right)$, or $f^{-1}\left({\mathcal {S}}\right)\subset \sigma \left(f^{-1}\left({\mathcal {E}}\right)\right)$ par définition de ${\mathcal {S}}$.

Exemple d'application

Une application classique du lemme de transport est de montrer qu'une application continue est borélienne.

En effet si $(X,{\mathcal {O}})$ et $(Y,{\mathcal {U}})$ sont des espaces topologiques, $f:(X,\sigma ({\mathcal {O}}))\to (Y,\sigma ({\mathcal {U}}))$ est borélienne si et seulement si $f^{-1}(\sigma ({\mathcal {U}}))\subset \sigma \left({\mathcal {O}}\right)$ ; or d'après le lemme de transport $f^{-1}\left(\sigma \left({\mathcal {U}}\right)\right)=\sigma \left(f^{-1}\left({\mathcal {U}}\right)\right)$. Si on suppose que $f$ est continue alors $f^{-1}\left({\mathcal {U}}\right)\subset {\mathcal {O}}$, et on a bien $\sigma (f^{-1}\left({\mathcal {U}}\right))\subset \sigma ({\mathcal {O}})$ donc $f^{-1}(\sigma ({\mathcal {U}}))\subset \sigma \left({\mathcal {O}}\right)$.

Cas général

Plus généralement le lemme de transport dit que si $(X,{\mathcal {A}})$ et $(Y,{\mathcal {B}})$ sont des espaces mesurables et si ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(Y)$ tel que $\sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {B}}$ alors $f:(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})$ est mesurable si et seulement si $f^{-1}({\mathcal {C}})\subset {\mathcal {A}}$ ce qui n'est pas anodin et peut simplifier considérablement la caractérisation des applications $({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})$-mesurables.

Référence

• Marc Briane & Gilles Pagès, Théorie de l'intégration, Paris, Vuibert, coll. « Les grands cours Vuibert », octobre 2000, 302 p. (ISBN 2-7117-8946-2), p. 49 et 53