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Cet article détaille plusieurs propriétés de positivité d'une fonction.
Une fonction C est semi-définie positive si elle est paire et :
∀
p
,
∀
x
1
,
…
,
x
p
,
∀
μ
1
,
…
,
μ
p
,
∑
α
=
1
p
∑
β
=
1
p
μ
α
μ
β
C
(
x
β
−
x
α
)
≥
0
{\displaystyle \forall p,\forall x_{1},\ldots ,x_{p},\forall \mu _{1},\ldots ,\mu _{p},\sum _{\alpha =1}^{p}\sum _{\beta =1}^{p}\mu _{\alpha }\mu _{\beta }C\left(x_{\beta }-x_{\alpha }\right)\geq 0}
La covariance d'une fonction aléatoire stationnaire d'ordre 2 est semi-définie positive ; inversement, une fonction semi-définie positive est la covariance d'une fonction aléatoire gaussienne .
Une fonction γ est conditionnellement définie négative , si :
∀
p
,
∀
x
1
,
…
,
x
p
,
∀
μ
1
,
…
,
μ
p
,
∑
α
=
1
p
μ
α
=
0
⇒
∑
α
=
1
p
∑
β
=
1
p
μ
α
μ
β
γ
(
x
β
−
x
α
)
≤
0
{\displaystyle \forall p,\forall x_{1},\ldots ,x_{p},\forall \mu _{1},\ldots ,\mu _{p},\sum _{\alpha =1}^{p}\mu _{\alpha }=0\Rightarrow \sum _{\alpha =1}^{p}\sum _{\beta =1}^{p}\mu _{\alpha }\mu _{\beta }\gamma \left(x_{\beta }-x_{\alpha }\right)\leq 0}