Discussion catégorie:Axiome de la théorie des ensembles

Problème d'homonymie

On a dans l'article : Théorie axiomatique des ensembles :

"Après coup, nous pouvons dire que Cantor utilisait tacitement l'axiome d'extensionnalité, et une forme très générale du schéma d'axiomes de compréhension. Cependant, ce dernier axiome conduit directement au paradoxe de Russell, quand on essaie de construire l'ensemble S = {A | A n'appartient pas à A} de tous les ensembles qui n'appartiennent pas à eux-mêmes. "

Cette phrase est gênante car laisse à penser que l'actuel schéma d'axiomes de compréhension mène au paradoxe de Russell, ce qui est bien sûr faux.

Nous sommes là face a un problème de terminologie que j'ai mentionné aussi sur la page de discussion de Axiome de séparation : quel nom est donné historiquement (et devons nous sur wikipédia donner) pour désigner l'axiome (naïf?, formel? j'avoue ne pas savoir) qui menait au paradoxe de Russell et qui a été ultérieurement réformé sous les 2 noms d'"axiome (ou shéma d'axiomes, là n'est pas la question) de séparation" et de "schéma d'axiomes de compréhension" ? A ma connaissance on l'appelle "axiome de compréhension" , ce qui bien sûr prête à confusion.

Connaissez-vous d'autres nom?

Je suggèrerais d'appeler :

1. "axiome de compréhension", par défaut d'autre nom connu pour le désigner, l'axiome contradictoire initial i.e. l'extention d'un prédicat (propriété, disait-on avant?) est un ensemble. On pourrait aussi lui consacrer un article (de type historique) servant aussi pour le lecteur perdu à ne pas le confondre avec les autres axiomes.

2. "axiome de séparation" la reformulation non contradictoire de l'ax précédent le restreignant à un ens, i.e. Si A est un ens et P un prédicat (disons unaire) la classe des x appartenant à A tq Px est un ensemble.

3. "shéma d'axiomes de séparation" ce qui est ici (et dans bcp de manuels ... mais qui n'abordent pas forcément l'aspect historique) appelé "schéma d'axiomes de compréhension" (mais on pourrait en dire un mot dans l'article après renommage). pi de toute façon on se fout un peu de ce shéma car il découle de celui de remplacement et a un intérêt plus didactique/historique (justement!) que théorique  :-)

Cette solution a le désavantage de heurter l'usage, mais à ma connaissance personne en entendant le mot "séparation" (qui évoque, par son nom, l'intersection d'une classe avec un ensemble) ne va le confondre avec l'axiome initial contradictoire. Le français me semble avoir contrairement à l'anglais ces 2 mots "séparation" et "compréhension", on peut en tirer bénéfice (mais ça peut poser pb car l'essentiel des articles de logique sont en anglais).

Maintenant je ne sais pas trop, y a t-il dans l'usage du terme "axiome de séparation" une nuance de type axiome naïf ou axiome du 2ème ordre qui sert justement à le distinguer d'un "shéma" axiomatique d'axiomes du premier ordre, ce qui rendrait le choix que je propose peu judicieux?

Donc : - Connaissez vous un nom non-ambigu pour désigner cet axiome contradictoire (et où quand comment il a été formulé?), et par défaut

- (mais seulement par défaut) que pensez vous de ma suggession? Maintenant quel que soit le choix fait il faudra harmoniser cette décision dans tous les articles, le but étant bien sûr que le lecteur de bonne volonté ait les moyens de , euh, ... comprendre ce qui lui est dit sans schizophrénie (séparation). Ok je sorts -->

p.s : je viens de créer l'article Axiome d'anti-fondation assez rapidement (yaveh pas) et de manière entièrement informel, si vous pouvez relire (tout amender, virer mes POV etc ...[bref tout casser :-)] et surtout donner les bonnes définitions amenant à l'énoncé exact), bah se serait bien (en l'état c'est un brouillon qui n'a comme légitimité que de boucher un trou). --Epsilon0 30 mars 2007 à 21:53 (CEST)

Dans son ouvrage "Axiomatic set theory", P.SUPPES utilise la dénomination "abstraction axiom" pour l'axiome de compréhension sans restriction menant au paradoxe de Russell. CBerlioz 2 avril 2007 à 22:40 (CEST)

Je ne connais a pas grand chose en théorie axiomatique des ensembles, mais ma référence est le livre de Jean-Louis Krivine. Quelle est sa position sur cette terminologie? Il me paraitrait hasardeux de créer pour Wikipédia notre propre terminologie. Question: Cantor avait-il une notion d'axiomes? Pierre de Lyon 3 avril 2007 à 02:00 (CEST)

• Tout à fait d'accord pour ne pas créer une terminologie, je laisse donc la question en suspend le temps que quelqu'un puisse corroborer l'usage non ambigu que j'utilise (sans lui en connaître une source fiable), ou l'infirmer (!).

• Il est à noter que trouver des sources est difficile car peu d'ouvrages (surtout en français) parlent (en lui donnant un nom; ce peut être "notez que telle formule ... contrad, ce qui historiquement ...") à la fois de cet axiome contradictoire et des axiomes contemporains, ce qui leur permettent d'utiliser le mot "compréhension" en des sens différents (selon les ouvrages) sans risque d'homonymie (au sein du même ouvrage); ... mais c'est pas le cas sur wikipédia, d'où le pb.
• Sur les interventions  :
  • "axiome d'abstraction", pourquoi pas, mais c'est la première fois que j'entend cette expression (on est vraiment dans un grand flou terminologique) et le risque de confusion avec le symbole d'abstraction, lambda, du lambda calcul me semble à éviter (certaines théories mèlent lambda calcul et ZF, par ex "Map Theory"). Mais si c'est le terme usuel TB.
  • A mon souvenir l'ouvrage de Krivine (enfin il en a consacré 2 à +- 35 ans d'intervalle) ne s'interresse pas du tout au passé de la discipline et vole vers les thms de cohérences relatives / AC et HC; donc pas de pb d'homonymie.
  • Sur l'origine de l'usage contemporain du mot "axiome", je ne sais pas trop : au pif je dirais que Hilbert est p.e. (après Cantor?) le 1er. Et pour les axiomes de la théorie des ensembles, me semble que les premières formulations sont de Russell et Whitehead dans les principia mathematica. Donc pour répondre à la question, je ne crois pas que Cantor ait utilisé le mot "axiome" au sens contemporain du terme; mais je peux me tromper.
• Bref
  • Je vais tenter de reformuler la phrase ambigüe de Théorie axiomatique des ensembles.pour ne pas laisser qqch de faux/ambigu, en croisant les doigts pour que le pb ne se repose plus.
  • Sans doute un jour un bon en théorie des ensembles (+histoire), je ne suis pas non plus expert, saura trouver la terminologie qui va bien dans les cas où il pourrait y avoir pb.
  • Et je copie cette page de discussion sur l'article sus-cité où il a p.e. plus de chance de trouver résolution.

--Epsilon0 4 avril 2007 à 20:36 (CEST)