Discussion:Covariance générale/À faire

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La covariance d'une loi physique n'a rien à voir avec la Covariance des composantes d'un tenseur. Le mot "covariance" ne se réfère pas à l'indice covariant d'un tenseur mais indique seulement une écriture de la loi physique qui reste invariante de forme sous une transformation quelconque des coordonnées.
Lorsque la loi physique peut s'écrire sous la forme tensorielle : W = 0, ou ce qui revient au même : B = C avec W = B - C (W, B et C étant des tenseurs de même type), alors tout changement de référentiel transforme cette équation sous la forme tensorielle : W' = 0
ce qui ne change pas la forme de la loi physique.
Si on prend pour exemple la loi de Newton : F = m γ, alors l'expression covariante de cette loi est en composantes contra-variantes :
    Fⁱ = m vⁱ_;t
avec : vⁱ = dxⁱ/dt
Le terme vⁱ_;t est la Dérivée covariante de la vitesse vⁱ par rapport au temps t, laquelle vaut :
    vⁱ_;t = vⁱ_;k (dx^k/dt) = vⁱ_,k (dx^k/dt) + Γⁱjk v^j v^k = dvⁱ/dt + Γⁱjk v^j v^k
où Γⁱjk sont les Symboles de Christoffel.
A noter que les symboles de Christoffel ne sont tous nuls que dans le cas particulier de la Relativité Restreinte avec coordonnées cartésiennes.
Si, de plus, la force F dérive d'un potentiel sous la forme : F = -grad(Φ), alors F peut s'écrire en composantes contra-variantes :
    Fⁱ = -g^ij dΦ/dx^j = m ( d²xⁱ/dt² + Γⁱjk (dx^j/dt) (dx^k/dt) )
où les g^ij sont les composantes contra-variantes du Tenseur métrique.
Sous cette forme tensorielle, la loi de Newton restera invariante de forme sous une transformation quelconque des coordonnées (coordonnées sphériques par exemple).

Démonstration de la covariance :
Prenons l'exemple d'une loi physique écrite sous la forme de l'équation tensorielle : W = 0, W étant un tenseur mixte d'ordre 2.
Soit [A] la matrice de passage de la base {ei} à la base {e'k} et [B] = [A^-1] la matrice de passage inverse.
Le changement de base transforme les composantes Wⁱj = 0 de cette équation en : W' ⁱj = Bⁱk A^lj W^kl = 0
ce qui ne change pas la forme de la loi physique.