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Soit une boule, de rayon R, de polarisation uniforme, donc de moment dipolaire
p
→
=
V
o
l
⋅
P
→
{\displaystyle {\vec {p}}=Vol\cdot {\vec {P}}}
σ
(
θ
)
=
P
c
o
s
θ
{\displaystyle \sigma (\theta )=Pcos\theta }
Comme la distribution est à support compact, le champ au loin (r>>R) comme celui créé par le dipôle p. [Quoi ?]
Il est extraordinaire de constater que cela est vrai pour tout r > R !
E
→
(
M
)
=
p
4
π
ϵ
0
r
3
⋅
(
2
cos
θ
u
r
→
+
sin
θ
u
θ
→
)
=
P
3
ϵ
0
R
3
r
3
⋅
(
2
cos
θ
u
r
→
+
sin
θ
u
θ
→
)
{\displaystyle {\vec {E}}(M)={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\cdot {\bigl (}2\cos \theta {\vec {u_{r}}}+\sin \theta {\vec {u_{\theta }}}{\bigr )}={\frac {P}{3\epsilon _{0}}}{\frac {R^{3}}{r^{3}}}\cdot {\bigl (}2\cos \theta {\vec {u_{r}}}+\sin \theta {\vec {u_{\theta }}}{\bigr )}}
ou encore :
E
→
(
M
)
=
1
4
π
ϵ
0
⋅
r
3
⋅
(
3
u
r
→
(
p
→
⋅
u
r
→
)
−
p
→
)
=
R
3
ϵ
0
⋅
r
3
⋅
(
u
r
→
(
P
→
⋅
u
r
→
)
−
1
3
P
→
)
{\displaystyle {\vec {E}}(M)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}\cdot r^{3}}}\cdot {\bigl (}3{\vec {u_{r}}}({\vec {p}}\cdot {\vec {u_{r}}})-{\vec {p}}{\bigr )}={\frac {R^{3}}{\epsilon _{0}\cdot r^{3}}}\cdot {\bigl (}{\vec {u_{r}}}({\vec {P}}\cdot {\vec {u_{r}}})-{\frac {1}{3}}{\vec {P}}{\bigr )}}
Pour r < R, le champ est uniforme :
E
0
→
=
−
P
→
/
3
ϵ
o
=
P
3
ϵ
0
⋅
(
−
c
o
s
θ
u
r
→
+
sin
θ
u
θ
→
)
{\displaystyle {\vec {E_{0}}}=-{\vec {P}}/3\epsilon _{o}={\frac {P}{3\epsilon _{0}}}\cdot {\bigl (}-cos\theta {\vec {u_{r}}}+\sin \theta {\vec {u_{\theta }}}{\bigr )}}
Le diagramme électrique est donc évident à tracer.
On obtient donc les potentiels suivants :
(r>R) :
V
(
M
)
=
p
→
⋅
r
→
4
π
ε
0
r
3
=
R
3
r
3
P
→
⋅
r
→
3
ε
0
{\displaystyle V(M)={\frac {{\vec {p}}\cdot {\vec {r}}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}}={\frac {R^{3}}{r^{3}}}{\frac {{\vec {P}}\cdot {\vec {r}}}{3\varepsilon _{0}}}}
(r<R) :
V
(
M
)
=
P
→
⋅
r
→
3
ϵ
o
{\displaystyle V(M)={\frac {{\vec {P}}\cdot {\vec {r}}}{3\epsilon _{o}}}}
On peut faire le calcul ; mais la démonstration la plus rapide est "bluffante" : la solution existe et est unique ; il suffit donc de vérifier que div E = 0 et rot E = 0 , et que les conditions limite à l'infini sont réalisées (c'est exact) et sur la sphère aussi :
E
e
x
t
−
E
i
n
t
=
P
c
o
s
(
θ
)
ϵ
o
.
u
r
→
=
σ
(
P
)
ϵ
o
.
n
→
(
P
)
{\displaystyle E_{ext}-E_{int}={\frac {Pcos(\theta )}{\epsilon _{o}}}.{\vec {u_{r}}}={\frac {\sigma (P)}{\epsilon _{o}}}.{\vec {n}}(P)}
On a, à ce moment-là, pour le petit volume V, où l'intégrale du champ vaut Vol.Eo = - P/3
ϵ
o
{\displaystyle \epsilon _{o}}
π
/
3
{\displaystyle \pi /3}
p .
δ
(
r
)
{\displaystyle \delta (r)}
Au total
E
→
(
M
)
=
1
4
π
ϵ
o
[
1
r
3
(
3
(
p
→
u
→
)
u
→
−
p
→
)
−
4
π
3
p
→
⋅
δ
(
r
)
{\displaystyle {\vec {E}}(M)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{o}}}[{\frac {1}{r^{3}}}(3({\vec {p}}{\vec {u}}){\vec {u}}-{\vec {p}})-{\frac {4\pi }{3}}{\vec {p}}\cdot \delta (r)}
