Cryptosystème de Cramer-Shoup

En cryptologie, le cryptosystème de Cramer-Shoup est un chiffrement à clé publique introduit en 1998 par les cryptologues Ronald Cramer et Victor Shoup. Historiquement, il s'agit du premier cryptosystème combinant les trois propriétés suivantes : il est résistant aux attaques adaptatives à chiffrés choisis (IND-CCA2), il est prouvé sûr dans le modèle standard, et il est efficace. Ces propriétés et d'autres le rendent particulièrement attrayant pour construire des mécanismes d'encapsulation de clés.

Histoire et motivation

La résistance aux attaques adaptatives à chiffrés choisis (IND-CCA2), introduite par Rackoff et Simon en 1991, correspond au plus haut niveau de sécurité atteignable par un cryptosystème pour le chiffrement. La nécessité pratique d'une telle sécurité a été mise en avant par Bleichenbacher en 1998.

Plusieurs constructions IND-CCA2 ont été proposées dans le modèle de l'oracle aléatoire, notamment OAEP. Par ailleurs, des transformations génériques permettent d'atteindre ce niveau de sécurité, mais ils reposent sur des preuves à divulgation nulle de connaissance et s'avèrent très inefficaces. Jusqu'à l'introduction du cryptosystème de Cramer-Shoup, aucun chiffrement IND-CCA2 efficace n'était connu, dont la sécurité pouvait être prouvée dans le modèle standard. La première preuve que de tels cryptosystèmes existent pourtant est due à Dolev, Dwork et Naor.

Le cryptosystème de Cramer-Shoup est une extension de celui d'ElGamal qui bloque la malléabilité du chiffré. Le prix à payer est que les clés et les chiffrés sont beaucoup plus larges que pour ElGamal (4 éléments de groupe pour le chiffré). De nombreuses variantes de Cramer-Shoup proposées depuis cherchent à réduire ce phénomène, quitte à réintroduire des hypothèses hors du modèle standard.

Description du cryptosystème

Le cryptosystème de Cramer-Shoup repose sur trois algorithmes $(G,E,D)$ décrits ici.

Génération de clé

L'algorithme de « génération de clé » $G$ prend en entrée un paramètre de sécurité $\lambda$. Il détermine un groupe cyclique $\mathbb {G}$ d'ordre $q$ et une fonction $H:\mathbb {G} ^{3}\to \mathbb {Z} /(q)$. Le choix de $q$ et de la fonction $H$ dépend de $\lambda$ et se fait à partir de l'analyse de sécurité, voir plus bas.

L'algorithme donne deux générateurs aléatoires $g_{1},g_{2}$ de $\mathbb {G}$ et tire six exposants aléatoires $x_{1},x_{2},y_{1},y_{2},z_{1},z_{2}\in \mathbb {Z} /(q)$. Il calcule alors :

$$c\gets g_{1}^{x_{1}}g_{2}^{x_{2}},\quad d\gets g_{1}^{y_{1}}g_{2}^{y_{2}},\quad {\text{et}}\quad h\gets g_{1}^{z_{1}}g_{2}^{z_{2}}$$

Finalement l'algorithme retourne une clé publique ${\mathsf {pk}}=\{c,d,h\}$, des paramètres publics ${\mathsf {pp}}=\{\lambda ,\mathbb {G} ,g_{1},g_{2},q,H\}$, et la clé privée ${\mathsf {sk}}=\{x_{1},x_{2},y_{1},y_{2},z_{1},z_{2}\}$.

Chiffrement

L'algorithme de chiffrement $E$ prend en entrée les paramètres publics, la clé publique, et un message $m\in \mathbb {G}$. Un exposant $r\in \mathbb {Z} /(q)$ est choisi uniformément au hasard, puis l'algorithme calcule :

$$u_{1}\gets g_{1}^{r},\quad u_{2}\gets g_{2}^{r},\quad e\gets mh^{r},\quad \alpha \gets H(u_{1},u_{2},e)\quad {\text{et}}\quad v\gets (cd^{\alpha })^{r}$$

Le chiffré correspondant est ${\mathsf {ct}}=\{u_{1},u_{2},e,v\}\in \mathbb {G} ^{4}$.

Déchiffrement

L'algorithme de déchiffrement $D$ prend en entrée les paramètres publics, la clé privée, et un chiffré ${\mathsf {ct}}=\{u_{1},u_{2},e,v\}\in \mathbb {G} ^{4}$. Il calcule $\alpha \gets H(u_{1},u_{2},e)$ et vérifie $u_{1}^{x_{1}+\alpha y_{1}}\cdot u_{2}^{x_{2}+\alpha y_{2}}\ {\stackrel {?}{=}}\ v$. Si l'égalité est fausse, l'algorithme de déchiffrement échoue et renvoie un symbole d'erreur ($\bot$). Sinon, il renvoie $m\gets eu_{1}^{-z_{1}}u_{2}^{-z_{2}}$.

Sécurité

Le cryptosystème de Cramer-Shoup est résistant aux attaques adaptatives à chiffrés choisis (IND-CCA2) lorsque la fonction $H$ est choisie dans une famille de fonctions de hachage universelles à sens unique par réduction, dans le modèle standard, à la difficulté du problème décisionnel de Diffie-Hellman dans $\mathbb {G}$.

Annexes

Bibliographie

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• [Bleichenbacher 1998] (en) Daniel Bleichenbacher, « Chosen ciphertext attacks against protocols based on the RSA encryption standard PKCS #1 », dans Advances in Cryptology — CRYPTO '98, Springer Berlin Heidelberg, 1998 (ISBN 9783540648925, DOI 10.1007/bfb0055716, lire en ligne), p. 1-12 ;
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• [Teranishi et Ogata 2008] (en) Isamu Teranishi et Wakaha Ogata, « Cramer-Shoup Satisfies a Stronger Plaintext Awareness under a Weaker Assumption », dans Lecture Notes in Computer Science, Springer Berlin Heidelberg, 2008 (ISBN 9783540858546, DOI 10.1007/978-3-540-85855-3_8, lire en ligne), p. 109-125.