Code de Kitaev

Le code de Kitaev (aussi appelé le « code torique ») est un code de correction d'erreurs quantiques topologique, qui peut être défini par le formalisme des codes stabilisateurs sur un réseau carré 2D

Ce code fait partie de la famille des codes de surfaces et il possède des conditions aux bords périodiques, ce qui forme donc un tore.

Détails

Pour le code de Kitaev, il existe 2 types de stabilisateurs, les stabilisateurs de plaquettes et de sites. On peut interpréter ce code comme étant un ensemble de spin-1/2 (qubits physiques) placés sur chaque arrête d'un réseau carré 2D. Il est donc possible de définir les stabilisateurs et un hamiltonien pour ce système.

Stabilisateurs

Il existe deux types de stabilisateurs pour ce code. Les stabilisateurs de sommets $A_{s}$ et les stabilisateurs de plaquettes $B_{p}$. En terme des opérateurs de Pauli, on exprime ces stabilisateurs comme:

$A_{s}=\prod _{i\in V(s)}\sigma _{i}^{x},\,\,B_{p}=\prod _{i\in V(p)}\sigma _{i}^{z}.$

avec $V(s)$ correspondant à l'ensemble des arrêtes sortants du sommet $s$ et $V(p)$ l'ensemble des arrêtes autour des plaquettes $p$.

Connaissant le nombre de qubits physiques et de stabilisateurs indépendants (générateurs), on peut montrer que ce code permet d'encoder 2 qubits logiques.

Hamiltonien

L'Hamiltonien de ce système est donné par

$H=-\left(\sum _{s}A_{s}+\sum _{p}B_{p}\right)$

De plus, on note les relations de commutations suivantes:

$[A_{s},A_{s}']=0$ ; $[B_{p},B_{p}']=0$ ; $[A_{s},B_{p}]=0$

et l'état fondamental de l'Hamiltonien $|\psi \rangle$ correspond aussi à l'état code tel que

$A_{s}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall v,\,\,B_{p}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall p,$