Bialgèbre de Lie

En mathématiques, une bialgèbre de Lie est une algèbre de Lie munie d'une application

$\delta :{\mathfrak {g}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}$

(appelée coproduit ou cocommutateur) telle que l'application duale $\delta ^{*}$ soit un crochet de Lie, et telle que $\delta$ soit un cocycle :

$\delta ([X,Y])=\left(\operatorname {ad} _{X}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{X}\right)\delta (Y)-\left(\operatorname {ad} _{Y}\otimes 1+1\otimes \operatorname {ad} _{Y}\right)\delta (X)$

Remarque importante : Une bialgèbre de Lie n'est pas a proprement parler une bialgèbre. En effet, on exige en général d'une bialgèbre que son algèbre sous-jacente soit unitaire et associative.