Bialgèbre

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En mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres.

Définition

Si $k$ est un corps, une bialgèbre est un $k$-espace vectoriel $B$ muni de quatre applications linéaires :

• un produit $\mu:B \otimes B \longrightarrow B$,
• une unité $\eta:k \longrightarrow B$,
• un coproduit $\Delta:B\longrightarrow B \otimes B$,
• une counité $\epsilon:B\longrightarrow k$.

telles que $(B,\mu,\eta)$ soit une algèbre et $(B,\Delta,\epsilon)$ une coalgèbre, et qui vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

1. $\Delta$ et $\epsilon$ sont des morphismes d'algèbres.
2. $\mu$ et $\eta$ sont des morphismes de coalgèbres.

Motivations

La notion de bialgèbre intervient surtout dans l'étude des algèbres de Hopf qui sont des bialgèbres particulières.