Bialgèbre

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En mathématiques, une bialgèbre ou bigèbre est un ensemble qui possède à la fois une structure d'algèbre et une structure de coalgèbre, et tel que ces deux structures soient compatibles entre elles. Les algèbres de Hopf sont en particulier des bigèbres.

Définition[modifier | modifier le code]

Si k est un corps, une bialgèbre est un k-espace vectoriel B muni de quatre applications linéaires :

  • un produit \mu:B \otimes B \longrightarrow B,
  • une unité \eta:k \longrightarrow B,
  • un coproduit \Delta:B\longrightarrow B \otimes B ,
  • une counité \epsilon:B\longrightarrow k.

telles que (B,\mu,\eta) soit une algèbre et (B,\Delta,\epsilon) une coalgèbre, et qui vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

  1. \Delta et \epsilon sont des morphismes d'algèbres.
  2. \mu et \eta sont des morphismes de coalgèbres.

Motivations[modifier | modifier le code]

La notion de bialgèbre intervient surtout dans l'étude des algèbres de Hopf qui sont des bialgèbres particulières.