Angle thêta (physique)

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En physique quantique, dans la théorie de la mesure et d'après la formulation hamiltonienne, la fonction d'onde est fonction du champ de matière φ et de la connexion de la mesure, notée A. Une décomposition de l'espace de Hilbert peut être effectuée en secteurs de supersélections caractérisés par leur angle thêta.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Cette théorie impose des contraintes de première classe sous la forme d'équations différentielles de fonctions, par exemple la contrainte de Gauss.

Dans un espace-temps plat, l'espace est un ensemble de R3 non compressible. Puisque les contraintes de Gauss sont locales, il suffit de considérer la transformation U qui approche 1 quand l'espace tend vers l'infini. Ou alors, on peut considérer que l'espace est une sphère S3. Sous tous les rapports, on peut voir qu'il y a une transformation U, homotopique à la transformation de mesure. Ces transformations sont appelés petites transformations de mesure, par opposition aux autres, appelées grandes transformations de mesure, classifiées dans le groupe d'homotopie π3(G) avec G le groupe de mesure.

La contrainte de Gauss sous-entend que la valeur de la fonction d'onde est constante sur l'orbite de la petite transformation de mesure :

\Psi[U\mathbf{A}U^{-1}-(dU)U^{-1},U\phi]=\Psi[\mathbf{A},\phi]

Cette relation est vraie pour toutes les petites transformations U, mais pas de façon générale pour toutes les grandes transformations.

Il apparaît que si G est un groupe de Lie, π3(G) est Z, l'ensemble des nombres relatifs. Si U représente une transformation de mesure d'invariante topologique 1, alors l'espace de Hilbert se décompose en secteurs de supersélection, marqués par un angle thêta θ tel que :

\Psi[U\mathbf{A}U^{-1}-(dU)U^{-1},U\phi]=e^{i\theta}\Psi[\mathbf{A},\phi]