Équation maîtresse

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En physique, une équation maîtresse est une équation différentielle décrivant l'évolution temporelle d'un système. C'est une équation de taux pour les états du système.

L'évolution de la probabilité  P_k d'être dans l'état discret k suit une équation du type :

 \frac{dP_k}{dt}=\sum_\ell \Gamma_{k\ell}P_\ell,

La matrice  \Gamma_{\ell k} est parfois appelée matrice des taux de transitions.

Cette équation se retrouve en mathématique lors des traitements probabilistes des chaînes de Markov.

Comme la probabilité totale se conserve \sum_{\ell} \Gamma_{\ell k} = 0

et l'équation maîtresse peut donc se réécrire

 \frac{dP_k}{dt}=\sum_\ell(\Gamma_{k\ell} P_\ell - \Gamma_{\ell k}P_k).

Cette forme permet directement de voir les taux de départ  \Gamma_{\ell k} de l'état k et les taux d'arrivée  \Gamma_{k \ell} vers cet état.

Une généralisation de cette équation est l'équation de Fokker-Planck pour l'évolution d'un nombre infini d'état k.