Structure de Hodge

En mathématiques, une structure de Hodge, du nom de William Hodge, vise à généraliser les données issues de la théorie de Hodge dans le cas d'une variété kählérienne lisse et compacte. Les structures de Hodge ont été généralisées à toutes les variétés complexes (même singulières et incomplètes) sous la forme de structures de Hodge mixtes, définies par Pierre Deligne (1970). Une variation de structure de Hodge est une famille de structures de Hodge paramétrées par une variété, étudiée pour la première fois par Phillip Griffiths (1968). Tous ces concepts ont ensuite été généralisés aux modules de Hodge mixtes sur des variétés complexes par Morihiko Saito (1989).

Structures de Hodge

Une structure de Hodge pure de poids entier n est la donnée d'un groupe abélien $H_{\mathbb {Z} }$ et d'une décomposition de sa complexification H en une somme directe de sous-espaces complexes $H^{p,q}$, où $p+q=n$, avec la propriété que le complexe conjugué de $H^{p,q}$ est $H^{q,p}$ :

$H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},$

${\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.$

Une définition équivalente est obtenue en remplaçant la décomposition en somme directe de H par la filtration de Hodge, une filtration finie décroissante de H par des sous-espaces complexes $F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),$ avec la condition

$\forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{ et}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.$

La relation entre ces deux descriptions est donnée par :

$H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},$

$F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.$

Par exemple, si X est une variété kählérienne compacte, $H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )$ est le n-ième groupe de cohomologie de X à coefficients entiers, alors $H=H^{n}(X,\mathbb {C} )$ est son n-ième groupe de cohomologie à coefficients complexes et la théorie de Hodge fournit la décomposition de H en une somme directe comme ci-dessus, de sorte que ces données définissent une structure de Hodge pure de poids n.

Pour les applications en géométrie algébrique, à savoir la classification des variétés projectives complexes par leurs périodes, l'ensemble de toutes les structures de Hodge de poids n sur $H_{\mathbb {Z} }$ est trop grossier. On précise une donnée supplémentaire.

Une structure de Hodge polarisée de poids n est constituée d'une structure de Hodge $(H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})$ et d'une forme bilinéaire entière non dégénérée Q sur $H_{\mathbb {Z} }$ (polarisation), qui s'étend à H par linéarité, et satisfaisant :

${\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi );\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ pour }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ pour }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}$

En termes de filtration de Hodge, ces conditions impliquent que

${\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ pour }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}$

où C est l'opérateur de Weil sur H, donné par $C=i^{p-q}$ sur $H^{p,q}$ .

Voir également

• Structure mixte Hodge
• Conjecture de Hodge
• Idéal jacobien
• Structure de Hodge – Tate, un analogue p -adique des structures de Hodge.

Références introductives

•  « {{{1}}} »
•   (Gives tools for computing hodge numbers using sheaf cohomology)
• A Naive Guide to Mixed Hodge Theory
• Alexandru Dimca, Singularities and Topology of Hypersurfaces, New York, Springer-Verlag, coll. « Universitext », 1992, 240, 261 (ISBN 0-387-97709-0, DOI 10.1007/978-1-4612-4404-2, MR 1194180, S2CID 117095021) (Gives a formula and generators for mixed Hodge numbers of affine Milnor fiber of a weighted homogenous polynomial, and also a formula for complements of weighted homogeneous polynomials in a weighted projective space.)

Les références

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•   This constructs a mixed Hodge structure on the cohomology of a complex variety.
•   This constructs a mixed Hodge structure on the cohomology of a complex variety.
•   This constructs a mixed Hodge structure on the cohomology of a complex variety.
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•  . An annotated version of this article can be found on J. Milne's homepage.
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