Accroissement indépendant

En théorie des probabilités, les accroissements indépendants sont des propriétés processus stochastiques et des mesures aléatoire . Souvent, un processus ou une mesure aléatoire comporte par définition des accroissement indépendants, ce qui souligne leur importance. Parmi les processus stochastiques qui possèdent qui par définition possèdes des accroissements indépendants, on trouve le processus de Wiener, tous les processus de Lévy, tous les processus additifs et le processus ponctuel de Poisson .

Définition des processus stochastiques

Soit $(X_{t})_{t\in T}$ un processus stochastique . Dans un grand nombre de cas , $T=\mathbb {N}$ ou $T=\mathbb {R} ^{+}$. Alors le processus stochastique possèdes un accroissement indépendants si et seulement si pour chaque $m\in \mathbb {N}$ et n'importe quel choix $t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{m-1},t_{m}\in T$ avec

$t_{0}<t_{1}<t_{2}<\dots <t_{m}$

les variables aléatoires

$(X_{t_{1}}-X_{t_{0}}),(X_{t_{2}}-X_{t_{1}}),\dots ,(X_{t_{m}}-X_{t_{m-1}})$

sont stochastiquement indépendants .

Définition des mesures aléatoires

Une mesure aléatoire $\xi$ a un accroissement indépendant si et seulement si la variable aléatoire https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6786cafa0fa5d38e6359b8dace23e218e3176163 est stochastiquement indépendants pour chaque sélection d'ensemble disjoints chaque section $B_{1},B_{2},\dots ,B_{n}$ et tout $n\in \mathbb {N}$.

Accroissements S-indépendants

Soit $\xi$ une mesure aléatoire sur $S\times T$ et définit pour tout ensemble mesurable borné $B$ la mesure aléatoire $\xi _{B}$ sur $T$ comme

$\xi _{B}(\cdot ):=\xi (B\times \cdot )$

Alors $\xi$ est appelée une mesure aléatoire avec des S-accroissement indépendants, si pour tous les ensembles bornés $B_{1},B_{2},\dots ,B_{n}$ et tout $n\in \mathbb {N}$ les mesures aléatoires $\xi _{B_{1}},\xi _{B_{2}},\dots ,\xi _{B_{n}}$ sont indépendants.

Application

Les accroissements indépendants sont une propriété fondamentale de nombreux processus stochastiques et sont souvent incorporés dans leur définition. La notion d'accroissement indépendants et d'accroissement S-indépendants de mesures aléatoires joue un rôle important dans la caractérisation du processus ponctuel de Poisson et de la divisibilité infinie .