« Lemme de Fitting » : différence entre les versions

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En mathématiques, le lemme de Fitting est un énoncé d'algèbre d'après lequel si M est un module indécomposable et de longueur finie alors tout endomorphisme de M est soit bijectif, soit nilpotent. Il en résulte que l'anneau des endomorphismes de M est local.

Énoncé

Si $M$ est un module de longueur finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $M$ alors^[1]

M=\ker(f^{n})\oplus \mathrm {im} (f^{n}).

Démonstration

Par hypothèse sur la longueur de $M$ , on a

\ker(f^{n+1})=\ker(f^{n})\quad {\text{et}}\quad \mathrm {im} (f^{n+1})=\mathrm {im} (f^{n}).

De ces égalités on déduit respectivement

\ker(f^{n})\cap \mathrm {im} (f^{n})=0\quad {\text{et}}\quad \ker(f^{n})+\mathrm {im} (f^{n})=M.

Conséquences

Sous les hypothèses du lemme, $f$ se restreint en un endomorphisme nilpotent de $ker(f n)$ et un automorphisme de $im(f n)$ ^[2].
Si $M$ est de plus indécomposable alors $f$ est soit nilpotent, soit inversible, et l'anneau $End(M)$ est local^[3].
Ce lemme permet de démontrer le théorème de Krull-Schmidt sur l'unicité de la décomposition d'un module de longueur finie en somme directe d'indécomposables.

Notes et références

↑ (en) Alberto Facchini, Module Theory : Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in Some Classes of Modules, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (n^o 167), 1998, 288 p. (ISBN 978-3-7643-5908-9, lire en ligne), p. 47
↑ (en) Louis Halle Rowen, Ring Theory, vol. 1, Boston, Academic Press, coll. « Pure and applied mathematics » (n^o 127), 1988 (ISBN 978-0-12-599841-3, lire en ligne), p. 239
↑ (en) Paul M. Cohn, Introduction to Ring Theory, Springer, coll. « Undergraduate Mathematics Series », 2000, 229 p. (ISBN 978-1-85233-206-8, lire en ligne), p. 80-81

(en) Joachim Lambek, Lectures on Rings and Modules, AMS Chelsea, 2009, 3^e éd., 187 p. (ISBN 978-0-8218-4900-2, lire en ligne), p. 23
Modèle:Planetmath reference

Voir aussi

(en) Thomas W. Hungerford (en), Algebra, coll. « GTM » (n^o 73), 1974 (lire en ligne), p. 84 — lemme de Fitting pour les groupes.

Portail de l’algèbre

[1] (en) Alberto Facchini, Module Theory : Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in Some Classes of Modules, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (n^o 167), 1998, 288 p. (ISBN 978-3-7643-5908-9, lire en ligne), p. 47

[2] (en) Louis Halle Rowen, Ring Theory, vol. 1, Boston, Academic Press, coll. « Pure and applied mathematics » (n^o 127), 1988 (ISBN 978-0-12-599841-3, lire en ligne), p. 239

[3] (en) Paul M. Cohn, Introduction to Ring Theory, Springer, coll. « Undergraduate Mathematics Series », 2000, 229 p. (ISBN 978-1-85233-206-8, lire en ligne), p. 80-81

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 En [[mathématiques]], le '''[[Lemme (mathématiques)|lemme]] de [[Hans Fitting|Fitting]]''' est un énoncé d'[[algèbre]] d'après lequel si ''M'' est un [[Module sur un anneau|module]] [[Module simple#Propriétés|indécomposable]] et de [[Longueur d'un module#Propriétés|longueur finie]] alors tout [[Module sur un anneau#Applications linéaires|endomorphisme]] de ''M'' est soit [[bijectif]], soit [[nilpotent]]. Il en résulte que l'[[anneau unitaire|anneau]] des endomorphismes de ''M'' est [[Anneau local|local]].
 == Énoncé ==
-Si {{math|''M''}} est un module de longueur finie {{math|''n''}} et {{math|''f''}} un endomorphisme de {{math|''M''}} alors<ref>{{ouvrage|lang=en|titre=Module Theory: Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in Some Classes of Modules|collection=Progress in Mathematics|numéro dans collection=167|prénom=Alberto|nom1=Facchini|lien éditeur=Birkhäuser Verlag|éditeur=Birkhäuser|année=1998|isbn=978-3-76435908-9|url=https://books.google.fr/books/about/Module_theory.html?id=h-zUeAsT3rUC&pg=PA47|passage=47}}</ref>
+Si {{math|''M''}} est un module de longueur finie {{math|''n''}} et {{math|''f''}} un endomorphisme de {{math|''M''}} alors<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Alberto|nom1=Facchini|titre=Module Theory : Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in Some Classes of Modules|éditeur=[[Birkhäuser Verlag|Birkhäuser]]|collection=Progress in Mathematics|numéro dans collection=167|année=1998|pages totales=288|passage=47|isbn=978-3-7643-5908-9|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=h-zUeAsT3rUC&pg=PA47}}</ref>
 <center><math>M=\ker(f^n)\oplus\mathrm{im}(f^n).</math></center>
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 == Conséquences ==
-* Sous les hypothèses du lemme, {{math|''f''}} se restreint en un endomorphisme nilpotent de {{math|ker(''f{{exp|n}}'')}} et un automorphisme de {{math|im(''f{{exp|n}}'')}}<ref>{{ouvrage|lang=en|titre=Ring Theory|volume=1|collection=Pure and applied mathematics|numéro dans collection=127|prénom=Louis Halle|nom1=Rowen|éditeur=Academic Press|lien éditeur=Academic Press|année=1988|isbn=978-0-12599841-3|url=https://books.google.fr/books?id=bd-DTiAX7uMC&pg=PA239|passage=239}}</ref>.
+* Sous les hypothèses du lemme, {{math|''f''}} se restreint en un endomorphisme nilpotent de {{math|ker(''f{{exp|n}}'')}} et un automorphisme de {{math|im(''f{{exp|n}}'')}}<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Louis Halle|nom1=Rowen|titre=Ring Theory|volume=1|lieu=Boston|éditeur=[[Academic Press]]|collection=Pure and applied mathematics|numéro dans collection=127|année=1988|passage=239|isbn=978-0-12-599841-3|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=bd-DTiAX7uMC&pg=PA239}}</ref>.
-* Si {{math|''M''}} est de plus indécomposable alors {{math|''f''}} est soit nilpotent, soit inversible, et l'anneau {{math|End(''M'')}} est local<ref>{{ouvrage|lang=en|titre=Introduction to Ring Theory|éditeur=Springer|lien éditeur=Springer Verlag|collection=Undergraduate Mathematics Series|lien auteur=Paul Cohn|prénom=Paul M.|nom1=Cohn|année=2000|isbn=978-1-85233206-8|url=https://books.google.fr/books?id=Haw6Q4XLsioC&pg=PA80|passage=80-81}}</ref>.
+* Si {{math|''M''}} est de plus indécomposable alors {{math|''f''}} est soit nilpotent, soit inversible, et l'anneau {{math|End(''M'')}} est local<ref>{{Ouvrage|langue=en|prénom1=Paul M.|nom1=Cohn|lien auteur1=Paul Cohn|titre=Introduction to Ring Theory|éditeur=[[Springer Verlag|Springer]]|collection=Undergraduate Mathematics Series|année=2000|pages totales=229|passage=80-81|isbn=978-1-85233-206-8|lire en ligne=https://books.google.fr/books?id=Haw6Q4XLsioC&pg=PA80}}</ref>.
 * Ce lemme permet de démontrer le [[Longueur d'un module#Propriétés|théorème de Krull-Schmidt]] sur l'unicité de la décomposition d'un module de longueur finie en somme directe d'indécomposables.
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-* {{ouvrage|lang=en|titre=Lectures on Rings and Modules|lien éditeur=American Mathematical Society|éditeur=AMS Chelsea|nom1=[[Joachim Lambek]]|numéro d'édition=3|année=2009|isbn=978-0-82184900-2|url=https://books.google.fr/books?id=dQjEsZFyFXQC&pg=PA23|passage=23}}
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 * {{Planetmath reference|id=9878|title=Fitting's Lemma}}
 ==Voir aussi==
-{{Ouvrage|lang=en|titre=Algebra|numéro dans collection=73|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|auteur={{Lien|Thomas W. Hungerford}}|year=1974|url={{Google Livres|t6N_tOQhafoC|page=84}}|page=84}}{{Commentaire biblio SRL|lemme de Fitting pour les groupes.}}
+{{Ouvrage|langue=en|auteur1={{Lien|Thomas W. Hungerford}}|titre=Algebra|éditeur=|collection=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]|numéro dans collection=73|année=1974|passage=84|isbn=|lire en ligne={{Google Livres|t6N_tOQhafoC|page=84}}}}{{Commentaire biblio SRL|lemme de Fitting pour les groupes.}}
 {{Portail|algèbre}}