Lemme de Fitting

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En mathématiques, le lemme de Fitting est un énoncé d'algèbre d'après lequel si M est un module indécomposable et de longueur finie alors tout endomorphisme de M est soit bijectif, soit nilpotent. Il en résulte que l'anneau des endomorphismes de M est local.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Si M est un module de longueur finie n et f un endomorphisme de M alors[1]

M=\ker(f^n)\oplus\mathrm{im}(f^n).

Démonstration[modifier | modifier le code]

Par hypothèse sur la longueur de M, on a

\ker(f^{n+1})=\ker(f^n)\quad\text{et}\quad\mathrm{im}(f^{n+1})=\mathrm{im}(f^n).

De ces égalités on déduit respectivement

\ker(f^n)\cap\mathrm{im}(f^n)=0\quad\text{et}\quad\ker(f^n)+\mathrm{im}(f^n)=M.

Conséquences[modifier | modifier le code]

  • Sous les hypothèses du lemme, f se restreint en un endomorphisme nilpotent de ker(fn) et un automorphisme de im(fn)[2].
  • Si M est de plus indécomposable alors f est soit nilpotent, soit inversible, et l'anneau End(M) est local[3].
  • Ce lemme permet de démontrer le théorème de Krull-Schmidt sur l'unicité de la décomposition d'un module de longueur finie en somme directe d'indécomposables.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Alberto Facchini, Module Theory: Endomorphism Rings and Direct Sum Decompositions in Some Classes of Modules, Birkhäuser, coll. « Progress in Mathematics » (no 167),‎ 1998 (ISBN 978-3-76435908-9, lire en ligne), p. 47
  2. (en) Louis Halle Rowen, Ring Theory, vol. 1, Academic Press, coll. « Pure and applied mathematics » (no 127),‎ 1988 (ISBN 978-0-12599841-3, lire en ligne), p. 239
  3. (en) Paul M. Cohn, Introduction to Ring Theory, Springer, coll. « Undergraduate Mathematics Series »,‎ 2000 (ISBN 978-1-85233206-8, lire en ligne), p. 80-81