Constante de connectivité

En mathématiques, laconstante de connectivité est une quantité numérique, associée àux chemins auto-évitants dansun réseau. Il est étudié en relation avec la notion d' universalité dans les modèles de la physique statistique en dimension deux . Alors que la constante de connectivité dépend du choix du réseau afin de pouvoir lui-même n'est pas universel (à l'instar des autres treillis dépendant des quantités telles que la critique seuil de probabilité de percolation), il est néanmoins une quantité importante qui apparaît dans des conjectures pour des lois universelles. En outre, les techniques mathématiques utilisées pour comprendre les constantes de connectivité, par exemple, dans la récente preuve rigoureuse par Duminil-Copin et Smirnov que cette constante a la valeur précise ${\displaystyle }$, peuvent fournir des indices pour une approche possible pour attaquer d'autres importants problèmes dans l'étude des chemins auto-évitants, notamment la conjecture que les chemins auto-évitants convergent dans la limite d'échelle vers l'évolution de Schramm–Loewner.

Définition

Le conjonctif constante est définie comme suit. Laissez ${\displaystyle }$ indiquer le nombre de n-étape d'auto-évitant des promenades à partir d'un fixe point d'origine dans le treillis. Depuis tous les n + m étape de soi en évitant de marcher peut être décomposé en un n-étape d'auto-évitant de marcher et de la m-étape d'auto-évitant de marcher, il s'ensuit que ${\displaystyle }$. Puis, en appliquant le lemme de Fekete au logarithme du rapport ci-dessus, la limite ${\displaystyle }$ peut être montré à exister. Ce numéro ${\displaystyle }$ est appelé le conjonctif constante, et clairement dépend du treillis choisi pour la marche depuis ${\displaystyle }$ n'. La valeur de ${\displaystyle }$ est précisément connue seulement pour les deux treillis, voir ci-dessous. Pour les autres réseaux, ${\displaystyle }$ a seulement été approchée numériquement. Il est conjecturé que ${\displaystyle }$ lorsque n tend vers l'infini, où ${\displaystyle }$ dépend du réseau, mais la critique de l'exposant ${\displaystyle }$ est universel (cela dépend de la dimension, mais pas le spécifique de la grille). En 2-dimensions, il est conjecturé que ${\displaystyle }$

Valeurs connues

Treillis	Conjonctif constante
Hexagonal	${\displaystyle }$
Triangulaire	${\displaystyle }$
Carré	${\displaystyle }$
Kagomé	${\displaystyle }$
Manhattan	${\displaystyle }$
L-treillis	${\displaystyle }$
${\displaystyle }$ treillis	${\displaystyle }$
${\displaystyle }$ treillis	${\displaystyle }$

Ces valeurs sont tirées du papier de Jensen–Guttmann en 1998 . La constante de connectivité du réseau ${\displaystyle }$, puisque chaque étape sur le réseau hexagonal correspond à deux ou trois étapes, peut être exprimé exactement comme la plus grande racine réelle du polynôme

${\displaystyle }$

compte tenu de l'expression exacte de la constante de conectivité du réseau hexagonal. Plus d'informations sur ces réseaux peuvent être trouvés dans l'article sur le seuil de percolation.

Duminil-Copin–Smirnov preuve

En 2010, Hugo Duminil-Copin et Stanislav Smirnov a publié la première preuve rigoureuse du fait que ${\displaystyle }$ pour le réseau hexagonal. Cela avait été conjecturé par Nienhuis, en 1982, dans le cadre d'une étude plus large de modèles en O(n) à l'aide de techniques de renormalisation. La preuve rigoureuse de ce fait vient d'un programme d'application des outils de l'analyse complexe à des modèles probabilistes qui a également produit des résultats impressionnants sur le modèle d'Ising entre autres. L'argument repose sur l'existence d'un observable parafermionique qui satisfait à la moitié des équations discretes de Cauchy–Riemann pour le réseau hexagonal. Nous allons modifier légèrement la définition d'un chemin auto-évitant en le faisant commencer et terminer au milieu d'une arête. Soit H l'ensemble de tous les milieux des arêtes de la maille hexagonale. Pour un chemin auto-éviatant ${\displaystyle }$ entre les deux milieux d'arêtes ${\displaystyle }$ et ${\displaystyle }$, nous définissons ${\displaystyle }$ le nombre de sommets visités et sa "dissolution" ${\displaystyle }$ comme le total de la rotation de la direction en radians quand ${\displaystyle }$ est parcouru de ${\displaystyle }$à ${\displaystyle }$. Le but de la preuve est de montrer que la fonction de partition

${\displaystyle }$

converge pour ${\displaystyle }$ et diverge pour ${\displaystyle }$ où le paramètre critique est donné par ${\displaystyle }$. Cela implique immédiatement que ${\displaystyle }$.

Étant donné un domaine ${\displaystyle }$ dans le réseau hexagonal, à partir de la mi-arête ${\displaystyle }$et de deux paramètres ${\displaystyle }$ et ${\displaystyle }$, nous définissons l'observable parafermionique

${\displaystyle }$

Si ${\displaystyle }$ et ${\displaystyle }$, alors pour tout sommet ${\displaystyle }$ dans ${\displaystyle }$nous avons

${\displaystyle }$

où ${\displaystyle }$ sont les  mi-arêtes émanant de ${\displaystyle }$. Ce lemme établit que le parafermionic observable est sans divergence. Il n'a pas été montré être sans curl, mais cela permettrait de résoudre plusieurs problèmes ouverts (voir les conjectures). La preuve de ce lemme est un savant calcul qui dépend fortement de la géométrie du réseau hexagonal.

Ensuite, nous nous concentrons sur un corps fini trapézoïdale de domaine ${\displaystyle }$ avec 2L cellules formant le côté gauche, les cellules T à travers, et des côtés supérieur et inférieur à un angle de ${\displaystyle }$. (Photo nécessaire.) Nous avons intégré le réseau hexagonal dans le plan complexe, de sorte que l'arête de longueur 1 et  la mi-arête dans le centre de la gauche est positionné en −1/2. Puis les sommets ${\displaystyle }$ sont donnés par

${\displaystyle }$

Nous définisons maintenant les fonctions de partition pour les chemeins auto-évitants au départ de ${\displaystyle }$ et se terminant sur les différentes parties de la frontière. Soit${\displaystyle }$ la partie gauche de la frontière, ${\displaystyle }$ la droite, ${\displaystyle }$ la partie supérieure, et ${\displaystyle }$ la partie inférieure. Soit

${\displaystyle }$

En additionnant l'identité

${\displaystyle }$

sur tous les sommets de ${\displaystyle }$ et notant que le "winding" est fixé en fonction de la partie de la frontière où le chemin se termine, nous pouvons arriver à la relation

${\displaystyle }$

après un autre habile calcul. Faisant  ${\displaystyle }$, on obtient une bande de domaine ${\displaystyle }$ et les fonctions de partition

${\displaystyle }$

Il a été montré plus tard que ${\displaystyle }$mais nous n'avons pas besoin de cela pour la preuve. Nous nous retrouvons avec la relation

${\displaystyle }$.

De là, nous pouvons déduire l'inégalité

${\displaystyle }$

Et arriver par induction à une limite inférieure strictement positive pour ${\displaystyle }$. Puisque${\displaystyle }$nous avons établi que ${\displaystyle }$.

Pour l'inégalité inverse, Pour un chemin auto-évitant arbitraire d'un treillis hexagonal, nous procédons à une décomposition canonique due à Hammersley et Welsh du chemin  dans les ponts de largeurs ${\displaystyle }$ et ${\displaystyle }$. Notez que nous pouvons lier

${\displaystyle }$

ce qui implique ${\displaystyle }$. Enfin, il est possible de lier la fonction de partition par le pont de fonctions de partition

${\displaystyle }$

Et donc, nous avons que ${\displaystyle }$ comme souhaité.

Conjectures

Nienhuis plaidé en faveur de Flory la prédiction que le déplacement quadratique moyenne de l'auto-évitant marche aléatoire ${\displaystyle }$ satisfait à la relation de la mise à l'échelle de${\displaystyle }$, avec ${\displaystyle }$. La mise à l'échelle de l'exposant ${\displaystyle }$ et la constante universelle ${\displaystyle }$ pourrait être calculée si le chemin auto-évitant possède un invariant conforme d'échelle limite, conjecturé être une  évolution de Schramm–Loewne avec ${\displaystyle }$.

Voir aussi

• Seuil de Percolation

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Auto-Évitant De Marcher Conjonctif Constante". MathWorld.