La distance du point A au plan P est AH. Cette distance est inférieure à AM et AM'
Dans l'espace euclidien , la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).
Si l'espace est muni d'un repère orthonormal , les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.
Soit dans l'espace:
Le point A de coordonnées
(
x
a
,
y
a
,
z
a
)
{\displaystyle (x_{a},y_{a},z_{a})}
Un point M quelconque du plan P
Le projeté orthogonal H de A sur P, noté
H
(
x
h
,
y
h
,
z
h
)
{\displaystyle H(x_{h},y_{h},z_{h})}
Le plan P d'équation cartésienne: ax + by + cz + d = 0
n
→
(
a
b
c
)
{\displaystyle {\vec {n}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}}}
un vecteur normal au plan P
Alors la distance
δ
{\displaystyle \delta }
du point A au plan P notée
δ
A
,
P
{\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }}
vaut :
δ
A
,
P
=
|
n
→
⋅
M
A
→
|
|
|
n
→
|
|
{\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }={\frac {\left|{\vec {n}}\cdot {\vec {MA}}\right|}{||{\vec {n}}||}}}
d'où,
δ
A
,
P
=
|
a
x
a
+
b
y
a
+
c
z
a
+
d
|
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }={\frac {\left|ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}
Démonstration
Premièrement, on sait que les vecteurs
A
H
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AH} }}}
et
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
sont colinéaires, on peut donc écrire :
A
H
→
=
λ
⋅
n
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AH} }}=\lambda \cdot {\vec {n}}}
ce qui revient à,
(
x
h
−
x
a
y
h
−
y
a
z
h
−
z
a
)
=
λ
(
a
b
c
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{h}-x_{a}\\y_{h}-y_{a}\\z_{h}-z_{a}\\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}}}
Deuxièmement,
H
∈
P
{\displaystyle \mathrm {H} \in \mathrm {P} }
donc:
a
x
h
+
b
y
h
+
c
z
h
+
d
=
0
{\displaystyle ax_{h}+by_{h}+cz_{h}+d=0}
Ceci revient à résoudre le système suivant:
{
x
h
=
λ
a
+
x
a
y
h
=
λ
b
+
y
a
z
h
=
λ
c
+
z
a
a
x
h
+
b
y
h
+
c
z
h
+
d
=
0
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{h}=\lambda a+x_{a}\\y_{h}=\lambda b+y_{a}\\z_{h}=\lambda c+z_{a}\\ax_{h}+by_{h}+cz_{h}+d=0\end{matrix}}\right.}
La substitution des coordonnées de H dans la 4e équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire :
a
(
λ
a
+
x
a
)
+
b
(
λ
b
+
y
a
)
+
c
(
λ
c
+
z
a
)
+
d
=
0
{\displaystyle a(\lambda a+x_{\mathrm {a} })+b(\lambda b+y_{\mathrm {a} })+c(\lambda c+z_{\mathrm {a} })+d=0}
.
ou encore :
a
x
a
+
b
y
a
+
c
z
a
+
d
+
λ
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
=
0
{\displaystyle ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d+\lambda (a^{2}+b^{2}+c^{2})=0}
.
P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a
λ
=
−
a
x
a
+
b
y
a
+
c
z
a
+
d
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle \lambda =-{\frac {ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}
Finalement, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur
A
H
→
{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AH} }}}
, donc :
δ
A
,
P
=
‖
A
H
→
‖
=
|
λ
|
‖
n
→
‖
{\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }=\lVert {\vec {AH}}\rVert =\left|\lambda \right|\lVert {\vec {n}}\rVert }
soit
δ
A
,
P
=
|
−
(
a
x
a
+
b
y
a
+
c
z
a
+
d
)
a
2
+
b
2
+
c
2
|
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }=\left|{\frac {-(ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right|{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}
et enfin
δ
A
,
P
=
|
a
x
a
+
b
y
a
+
c
z
a
+
d
|
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,P}={\frac {\left|ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}
Ceci termine la preuve.