Distance d'un point à un plan

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La distance du point A au plan P est AH. Cette distance est inférieure à AM et AM'

Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.

Soit le plan P et le point A dans l'espace. On appelle (xA, yA, zA) les coordonnées du point A, M un point quelconque du plan P, un vecteur normal au plan P et ax + by + cz + d = 0 une équation cartésienne du plan P. Alors la distance du point A au plan P, dA, P vaut :

d'où,

Démonstration

Soit H(x, y, z ) le projeté orthogonal de A sur P et soit un vecteur normal à P.

On sait que les vecteurs et sont colinéaires, on peut donc écrire :

Soit encore

et donc

ax + by + cz + d = 0.

Ceci revient à résoudre le système suivant:

La substitution de x, y et z dans la 4e équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire :

.

Ou encore :

.

P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a

Or, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur , donc :

soit
et enfin

Ceci termine la preuve.

Voir aussi[modifier | modifier le code]