Wikipédia:Lumière sur/Théorème de Cauchy-Lipschitz
Ce « Lumière sur » a été ou sera publié sur la page d'accueil de l'encyclopédie le mardi 4 août 2009.
En mathématiques, le théorème de Cauchy-Lipschitz concerne les équations différentielles. Sous des conditions de régularités d’une fonction définissant une équation, il garantit l’unicité d’une solution répondant à une condition dite de Cauchy et l’existence d’une solution maximale.
Selon les auteurs, ce théorème s’exprime de manière plus ou moins forte. Sous une forme plus évoluée, ce théorème assure que la solution varie continument si la condition initiale est modifiée, il en est de même si l’équation est donnée avec paramètre. Si l’équation est définie par une fonction de classe Cp, la solution est de classe Cp+1. Ce théorème existe encore sous des formes plus évoluées si l’équation différentielle n’est plus à valeurs dans un espace vectoriel, mais dans une variété différentielle.
Certaines lois physiques, comme la gravitation, se traduisent par des équations différentielles vérifiant les hypothèses du théorème. Il assure alors le caractère déterministe du mécanisme décrit par la loi. Ce déterminisme se ne traduit pas toujours par une possibilité de prédiction, la théorie du chaos montre l’existence de possibles phénomènes fortuits.