Variété Fujiki

 

En géométrie algébrique complexe, une variété complexe est dite de classe ${\mathcal {C}}$ ou de Fujiki si elle est biméromorphe à une variété Kählerienne compacte. Cette notion a été définie par Akira Fujiki.

Propriétés

Soit M une variété compacte de Fujiki-classe ${\mathcal {C}}$, et $X\subset M$ une sous-variété complexe de M. Alors X est aussi de Fujiki-classe ${\mathcal {C}}$ ( Lemme 4.6). De plus,l'espace de Douady de X (c'est-à-dire les modules de déformations d'une sous-variété $X\subset M$, M fixe) est compact et de Fujiki-classe ${\mathcal {C}}$.

Les variétés de Fujiki-classe ${\mathcal {C}}$ sont des exemples de variétés complexes compactes qui ne sont pas nécessairement de Kähler, mais pour lesquelles le lemme-$\partial {\bar {\partial }}$ est valable.

Conjectures

J.-P. Demailly et M. Pǎun ont montré qu'une variété est de classe Fujiki ${\mathcal {C}}$ si et seulement si elle contient un courant de Kähler . Ils ont également supposé qu'une variété M appartient à la classe Fujiki. ${\mathcal {C}}$ s'il admet un courant nef (numériquement effectif) big, c'est-à-dire satisfaisant :

$\int _{M}\omega ^{dim_{\mathbb {C} }M}>0.$

Pour une classe de cohomologie $[\omega ]\in H^{2}(M)$ qui est rationnel, cette affirmation est connue : par la conjecture de Grauert-Riemenschneider, un fibré en droites holomorphe L de première classe de Chern

$c_{1}(L)=[\omega ]$

nef et big a une dimension Kodaira maximale, d'où l'application rationnelle correspondante à

${\mathbb {P} }H^{0}(L^{N})$

est génériquement fini sur son image, qui est algébrique, et donc Kähler.

Fujiki et Ueno se sont demandé si la propriété d'être de Fujiki-classe ${\mathcal {C}}$ est stable sous déformations. Cette conjecture a été réfutée en 1992 par Y.-S. Poon et Claude Lebrun

Voir aussi

• Cônes kählériens