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En statistiques ou en probabilités, la médiale est un indicateur de valeur centrale, à ne pas confondre avec la médiane.

Définitions[modifier | modifier le code]

Médiale d'une variable aléatoire[modifier | modifier le code]

Si X est une variable aléatoire admettant une espérance, sa médiale est la valeur qui partage sa masse en deux parties de même poids. Si X suit la loi de probabilité P, la médiale est la valeur m telle que :

\int _{-\infty }^{m}X\,dP=\int _{m}^{+\infty }X\,dP={\frac {1}{2}}\ E(X)

Médiale d'un échantillon[modifier | modifier le code]

Soit $(x_{i})_{i\in I}$ un échantillon statistique. La médiale est la valeur ${x_{N}}$ où N est tel que:

Comme la médiane, il se peut, pour certains choix de classes d'éléments, que la médiale d'un échantillon n'est pas unique.

Exemples[modifier | modifier le code]

Médiale d'une variable aléatoire[modifier | modifier le code]

Si X suit une loi exponentielle de paramètre 1 (i.e. si sa densité est f(t) = exp(-t)) alors sa médiane est de ln(2)

En revanche son espérance est de 1 donc sa médiale sera la valeur de M pour laquelle int[0,M](texp(-t)dt) = 1/2 soit numériquement une valeur de l'ordre de 1,6

Médiale d'un échantillon[modifier | modifier le code]

Dans une classe de 30 élèves de CM2, chaque enfant reçoit chaque jour de l'argent de poche de ses parents pour acheter son gouter. Une étude sur la classe a donné le tableau de statistiques suivant:

1 euro.... 20 euros (pour un gouter au Ritz

La médiane est de tant

La médiale est de M=tant, ce qui signifie que si les enfants qui reçoivent moins de M mettent tous leurs sous en commun, ils réuniront la même somme que si tous les enfants qui ont plus de M mettent leurs sous en commun.

Comparaison avec l'espérance et la médiane[modifier | modifier le code]

On considère une variable aléatoire X, on note Ml sa médiale, Mn sa médiane.

Cas X>0[modifier | modifier le code]

On présente ici le cas où X prend des valeurs positives, qui est le cas le plus courant (X désigne par exemple un salaire, une population, un taux). On a alors : $\int _{-\infty }^{Ml}X\,dP=\int _{Ml}^{+\infty }X\,dP={\frac {1}{2}}\ E(X)$

On a alors de manière assez intuitive Ml > Mn en effet,

\int _{-\infty }^{m}X\,dP=\int _{m}^{+\infty }X\,dP=

Cas X<0[modifier | modifier le code]

Cas général[modifier | modifier le code]

Dans le cas général on ne peut pas prévoir de relation d'ordre entre médiane, espérance, et médiale.