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Principe fondamental de la dynamique en mécanique relativiste

Dans le cadre de la relativité restreinte formulée par Albert Einstein, le principe fondamental de la dynamique demeure valide après modification de la définition de la quantité de mouvement :

${\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}$

où $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ est le facteur de Lorentz avec c la vitesse de la lumière.

Ainsi, la quantité de mouvement d'un objet matériel tend vers l'infini lorsque sa vitesse se rapproche de c, ce qui traduit l'impossibilité théorique pour un tel objet de dépasser la vitesse de la lumière. On retrouve par ailleurs la définition classique de la quantité de mouvement ${\vec {p}}\approx m{\vec {v}}$ aux faibles vitesses.

Dans un référentiel galiléen (ou inertiel) donné, le principe fondamental de la dynamique conserve alors sa forme habituelle :

$\sum _{i}{{\vec {\mathrm {F} }}_{i}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}$

Dans le cadre de la relativité générale, cependant, la gravitation n'est pas considérée comme une force à part entière mais comme une conséquence géométrique de la déformation de l'espace-temps par la matière, c'est-à-dire une extension du principe d'inertie. Le mouvement inertiel ne se fait donc plus « en ligne droite », mais le long de géodésiques de l'espace-temps.

Formulation en termes de quadrivecteurs

Pour faciliter les changements de coordonnées entre référentiels inertiels (transformations de Lorentz), une forme plus générale du principe fondamental de la dynamique peut être établie en utilisant le formalisme des quadrivecteurs de l'espace-temps de Minkowski. La quantité de mouvement est ainsi remplacée par le quadri-moment $p^{\alpha }$et les forces extérieures par les quadrivecteurs force $F^{\alpha }$:

$p^{\alpha }=(E/c;{\vec {p}})$, où $E$ est l'énergie totale de la particule et ${\vec {p}}$ est la quantité de mouvement relativiste précédemment définie.$F^{\alpha }=(\gamma {{\vec {F}}\cdot {\vec {v}}}/{c};\gamma {\vec {F}})$

Par ailleurs, l'écoulement du temps étant relatif à un référentiel donné, il est nécessaire d'introduire la notion de temps propre $\tau$, correspondant au temps mesuré dans le référentiel où le système est immobile (temps que mesurerait une horloge « attachée » au système). Cette grandeur invariante, peut être définie dans le référentiel inertiel d'observation par :

${dt}={\gamma }\cdot d\tau$

Le principe fondamental de la dynamique prend alors la forme plus générale :

$\sum {F^{\alpha }}={dp^{\alpha } \over d\tau }$

On retrouve ainsi l'expression précédente pour la quantité de mouvement, tandis que le premier terme des quadrivecteurs donne une variante relativiste du théorème de l'énergie cinétique.