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Introduction

Contextualisation

Dans la deuxième partie de son rapport publié le 28 février 2022, le GIEC alertait que le réchauffement climatique allait entrainer la plus rapide montée des eaux depuis 3000 ans. Cette montée menace de modifier profondément le trait de côte de nombreux pays, pouvant entrainer le déplacement de nombreuses populations, ainsi que la destruction d’ouvrages et d’habitations. La France est d'ailleurs l’un des pays européens les plus menacés par les inondations côtières et par cette augmentation du niveau des océans.

Ainsi, nous allons étudier et modéliser les effets de la houle sur le littoral avec la montée des eaux et afin de répondre aux besoins de prévoir dans les décennies qui viennent les modifications du trait de côte et les destructions possibles.

Le modèle qui va nous permettre de réaliser la modélisation de la houle est le modèle de Berkhoff qui est constitué d’une équation aux dérivées partielles. Nous étudierons différents cas, que nous résoudrons par une méthode analytique puis par homotopie.

Le modèle de Berkhoff

Le modèle de Berkhoff a pour but de combiner les effets de la réfraction et de la diffraction pour les vagues se propageant sur le fond marin dans un seul modèle, aussi appelé équation de pente douce. Son équation fonctionne sous l’hypothèse de houles de faibles amplitudes et sous l’approximation mild-slope (ce qui signifie qu’on considère que les fonds marins sont en pente douce). Berkhoff est le premier auteur à établir, dans la théorie potentielle linéaire, une équation de propagation de la houle couplant les effets de la diffraction et de la réfraction induits par les variations topographiques.

En bi-dimensionnel, il a pour équation : $\displaystyle \nabla .(CC_{g}\nabla \phi )+k^{2}CC_{g}\phi =0$
où :
- $\phi$ est le potentiel,
- $k$ est le nombre d’onde fonction de la profondeur $H$ et de la fréquence $\omega$, par la relation implicite $\omega ^{2}=gk\tanh(kH)$ ,
- $C$ est la célérité de l’onde,
- $C_{g}$ est la célérité de groupe des vagues.

L'équation de pente douce est souvent utilisée dans l'ingénierie côtière pour calculer les changements de champ de vagues près des ports et des côtes. Certaines études portent sur sa réécriture pour simplifier sa résolution numérique. Nous choisirons la méthode d’homotopie pour résoudre cette équation.

Le principe de l'homotopie

L' homotopie est un « chemin » qui permet de passer d'une solution connue simple à une solution complète, au moyen d'un paramètre $p$ variant entre 0 et 1. Le dit « chemin » est alors une déformation continue entre la première estimation de la solution simple (lorsque $p=0$) et la solution complète (lorsque $p=1$) du système d'équations à résoudre.

Hypothèses de calcul

Pour simplifier le problème, nous nous intéresserons à la houle longue (dont la longueur d'onde est supérieure à 300 m). Sous cette hypothèse, on peut faire l'approximation que : $C=C_{g}={\sqrt {gH}}$.

Lorsque $H=constante$, l'équation de Berkhoff est simplifiée comme suit :

$\displaystyle \Delta \phi +k^{2}\phi =0$

L'évolution dans le temps de la hauteur de houle est donnée par : $h(x,t)=\Re \left(\phi e^{-i\omega t}\right)$.

Remarque générale : on traite le cas de la houle, donc l'entrée est située en aval, et la sortie en amont.

1^er cas Canal monodimensionnel plat avec sortie libre en amont

La première géométrie étudiée est celle d'un canal monodimensionnel plat. On lui affecte une longueur L.

On modélise à son entrée, par l'aval, une onde de fréquence unitaire $\phi =1$ (condition aux limites de Dirichlet), et une sortie libre en amont $\phi _{x}=ik\phi$ (condition aux limites de Robin).

Par soucis de facilité, on impose ces deux conditions uniquement en $x=0$. Il est possible de démontrer que cette situation est équivalente au cas où ces deux conditions sont appliquées aux deux extrémités du domaine, à savoir en $x=0$ et en $x=L$.

Simplification de l'équation de Berkhoff :

Dans cette situation, l'équation de Berkhoff simplifée peut être écrite, en domaine unidimensionnel :

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+k^{2}\phi =0$

Solution analytique

On peut réécrire l’équation ${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+k^{2}\phi =0$ sous sa forme caractéristique : $X^{2}+k^{2}=0$.

En résolvant cette équation du second degré, on trouve que son discriminant $\Delta =-4k^{2}$ est négatif. L'équation caractéristique admet donc 2 racines complexes, qui sont $X_{1}=-ik$ et $X_{2}=ik$.

La solution générale est de la forme : $\phi (x)=\alpha \,\exp ^{X_{1}x}+\beta \,\exp ^{X_{2}x}$. On détermine les inconnues $\alpha$ et $\beta$ à l’aide des conditions aux limites énoncées précédemment :

• En aval : $\phi (x=0)=1\quad \Longrightarrow \quad \alpha +\beta =1$
• En amont : ${\dfrac {\partial \phi }{\partial x}}(x=L)=ik\,\phi (x=L)\quad \Longrightarrow \quad \alpha =0\quad$ et $\quad \beta =1$

Solution semi-analytique par homotopie

Hypothèses et conditions limites

Soit $p\in {[0,1]}$ un paramètre qui varie de 0 à 1.

En choisissant la dérivée seconde comme opérateur linéaire, la relation d'homotopie (avec $p\in [0\,;1]$) s'écrit :

$(1-p)(\phi _{xx}-u_{0,xx})+p(\phi _{xx}+k^{2}\phi )=0$

On rappelle que : $\left\{{\begin{aligned}&\phi (x,p)=\sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\phi _{n}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &(\Leftrightarrow \phi (x,p)=\phi _{0}(x)+p\phi _{1}(x)+p^{2}\phi _{2}(x)+p^{3}\phi _{3}(x)+\cdots )\\&{\dfrac {\partial \phi ^{2}}{\partial x^{2}}}(x,p)=\phi _{xx}(x,p)=\sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\phi _{n,xx}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &(\Leftrightarrow \phi _{xx}(x,p)=\phi _{0,xx}(x)+p\phi _{1,xx}(x)+p^{2}\phi _{2,xx}(x)+p^{3}\phi _{3,xx}(x)+\cdots )\\\end{aligned}}\right.$

On part d'une solution initiale ($p=0$) nulle : $u_{0}=0$. La solution complète est obtenue lorsque $p=1$.

La relation d'homotopie se simplifie alors comme suit :

$\phi _{xx}+pk^{2}\phi =0$

Résolution aux différents ordres

La relation d’homotopie simplifiée ci-dessus peut-être développée de la manière suivante :

$\phi _{0,xx}(x)+p\phi _{1,xx}(x)+p^{2}\phi _{2,xx}(x)+p^{3}\phi _{3,xx}(x)+\cdots =-k^{2}(p\phi _{0}(x)+p^{2}\phi _{1}(x)+p^{3}\phi _{2}(x)+p^{4}\phi _{3}(x)+\cdots )$

La résolution de cette équation est alors celle du système linéaire suivant, par liberté de la famille $(1,p,p^{2},p^{3},\cdots )$ :

$\left\{{\begin{aligned}\phi _{0,xx}(x)&=&0&&&(1.1)\\\phi _{1,xx}(x)&=&-k^{2}\phi _{0}(x)&&&(1.2)\\\phi _{2,xx}(x)&=&-k^{2}\phi _{1}(x)&&&(1.3)\\\phi _{3,xx}(x)&=&-k^{2}\phi _{2}(x)&&&(1.4)\\&.&\\&.&\\&.&\\\end{aligned}}\right.$

On s’intéresse maintenant aux différents ordres de $p$ :

Ordres	Equation	Conditions aux limites
		En $x=0$	En $x=L$
0	On utilise l'équation $(1.1)$ : ${\begin{aligned}\phi _{0,xx}={\frac {\partial ^{2}\phi _{0}}{\partial x^{2}}}=0&&\iff &&{\frac {\partial \phi _{0}}{\partial x}}=\alpha _{1}\\&&\iff &&\phi _{0}(x)=\alpha _{1}x+\beta _{1}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\phi _{0}(0)=1\qquad \quad &\Longrightarrow &\beta _{1}=1\quad \\{\frac {\partial \phi _{0}}{\partial x}}=ik\phi _{0}\quad {\text{et}}\quad {\frac {\partial \phi _{0}}{\partial x}}=\alpha _{1}\quad &\Longrightarrow &\alpha _{1}=ik\phi _{0}\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\text{On a :}}&\alpha _{1}=ik\phi _{0}\quad {\text{et}}\quad \beta _{1}=1\\&{\text{Or :}}&\phi (x=L)=\alpha _{1}L+\beta _{1}\quad &\Longrightarrow &\;\alpha _{1}={\frac {ik}{1-ikL}}\qquad \\\end{aligned}}$ Ainsi : $\phi _{0}(x)=1-{\frac {kx}{2}}+{\frac {ikx}{2}}$
1	On utilise l'équation $(1.2)$ : ${\begin{aligned}\phi _{1,xx}={\frac {\partial ^{2}\phi _{1}}{\partial x^{2}}}=-k^{2}\phi _{0}&&\iff &&{\frac {\partial \phi _{1}}{\partial x}}=-k^{2}\int \phi _{0}.dx+\alpha _{1}'\\&&\iff &&\phi _{1}=-k^{2}\iint \phi _{0}.dxdx+\alpha _{1}'x+\beta _{1}'\end{aligned}}$ Or : $\qquad \iint \phi _{0}.dxdx={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {ikx^{3}}{6(1-ikL)}}$ Donc : $\phi _{1}(x)=-k^{2}\left({\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {ikx^{3}}{6(1-ikL)}}\right)+\alpha _{1}'x+\beta _{1}'$	$\phi _{1}(x=0)=\beta _{1}'=0$	On a : $\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\partial \phi _{1}(L)}{\partial x}}=ik\phi (L)$ C'est-à-dire : $-k^{2}\left({\frac {ikL^{2}}{2(1-ikL)}}+L\right)+\alpha _{1}'=ik\left(-k^{2}\left({\frac {ikL^{3}}{6(1-ikL)}}+{\frac {L^{2}}{2}}\right)+\alpha _{1}'L\right)$ $\Longrightarrow \qquad \alpha _{1}'={\frac {k}{2}}-{\frac {ik}{3}}$ Ainsi : $\phi _{1}(x)=-k^{2}\left({\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {ikx^{3}}{6(1-ikL)}}\right)+\left({\frac {k}{2}}-{\frac {ik}{3}}\right)x$

On continue jusqu’à l’ordre n.
On peut représenter les courbes de la solution par homotopie des $\phi$ aux différents ordres de $p$ par rapport à la solution analytique.

2^e cas Canal monodimensionnel plat avec réflexion totale en amont

On étudie maintenant le cas d'un canal monodimensionnel plat de longueur L, cette fois avec réflexion totale en amont.

On modélise, en aval, un flux $\phi _{x}=ik(2-\phi )$, et la réflexion totale en amont $\phi _{x}=0$ .

Simplification de l'équation de Berkhoff :
Dans cette situation, l'équation de Berkhoff prend la même expression que dans le 1^er cas :

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+k^{2}\phi =0$

Solution analytique

On reprend l'exact même raisonnement qu'au 1^er cas, pour trouver la forme de la solution générale : $\phi (x)=\alpha \,\exp ^{-ikx}+\beta \,\exp ^{ikx}$. On détermine les inconnues $\alpha$ et $\beta$ à l’aide des nouvelles conditions aux limites :

• En aval : ${\dfrac {\partial \phi }{\partial x}}(x=0)=ik(2-\phi (x=0))\quad \iff \quad -ik\,\alpha +ik\,\beta =ik(2-(\alpha +\beta ))\quad \Longrightarrow \quad \beta =1$
  
• Réflexion totale en amont : ${\dfrac {\partial \phi }{\partial x}}(x=L)=0\quad \Longleftrightarrow \quad -ik\,\alpha \,e^{-ikL}+ik\,\beta \,e^{ikL}=0\quad \Longrightarrow \quad \alpha =e^{2ikL}$

Solution semi-analytique par homotopie

On utilise le même raisonnement qu'au 1^er cas.

Il convient d'étudier plus en détail la relation : ${\dfrac {\partial \phi }{\partial x}}=ik(2-\phi )$.

On rappelle que : $\left\{{\begin{aligned}&\phi (x,p)=\sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\phi _{n}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &(\Leftrightarrow \phi (x,p)=\phi _{0}(x)+p\phi _{1}(x)+p^{2}\phi _{2}(x)+p^{3}\phi _{3}(x)+\cdots )\\&{\dfrac {\partial \phi }{\partial x}}(x,p)=\phi _{x}(x,p)=\sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\phi _{n,x}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &(\Leftrightarrow \phi _{x}(x,p)=\phi _{0,x}(x)+p\phi _{1,x}(x)+p^{2}\phi _{2,x}(x)+p^{3}\phi _{3,x}(x)+\cdots )\\\end{aligned}}\right.$

Ainsi : $\quad \phi _{0,x}(x)+p\phi _{1,x}(x)+p^{2}\phi _{2,x}(x)+\cdots =2ik-ik(\phi _{0}(x)+p\phi _{1}(x)+p^{2}\phi _{2}(x)+\cdots )\quad \iff \quad \left\{{\begin{aligned}\phi _{0,x}(x)&=&ik(2-\phi _{0}(x))&&&(2.1)\\\phi _{1,x}(x)&=&-ik\phi _{1}(x)&&&(2.2)\\\phi _{2,x}(x)&=&-ik\phi _{2}(x)&&&(2.3)\\&.&\\&.&\\&.&\\\end{aligned}}\right.$

On s’intéresse maintenant aux différents ordres de $p$ :

Ordres	Equation	Conditions aux limites
		En $x=L$	En $x=0$
0	On utilise l'équation $(1.1)$ : ${\begin{aligned}\phi _{0,xx}={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}=0&&\iff &&{\frac {\partial \phi }{\partial x}}=\alpha _{2}\\&&\iff &&\phi _{0}(x)=\alpha _{2}x+\beta _{2}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\frac {\partial \phi _{0}(L)}{\partial x}}=0\quad \Longrightarrow \quad \alpha _{2}=0\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\frac {\partial \phi _{0}(0)}{\partial x}}=ik(2-\phi _{0}(0))\quad &\iff &\quad &0=ik(2-\beta _{2})\\&\iff &&\beta _{2}=2\\\end{aligned}}$ D'où : $\phi _{0}(x)=2$
1	On utilise l'équation $(1.2)$ : ${\begin{aligned}\phi _{1,xx}={\frac {\partial ^{2}\phi _{1}}{\partial x^{2}}}=-k^{2}\phi _{0}&&\iff &&{\frac {\partial \phi _{1}}{\partial x}}=-k^{2}\int \phi _{0}.dx+\alpha _{2}'\\&&\iff &&\phi _{1}=-k^{2}\iint \phi _{0}.dxdx+\alpha _{2}'x+\beta _{2}'\end{aligned}}$ Or : $\qquad \qquad \qquad \iint \phi _{0}.dxdx=x^{2}$ Donc : $\phi _{1}(x)=-k^{2}x^{2}+\alpha _{2}'x+\beta _{2}'$	${\begin{aligned}{\frac {\partial \phi _{1}(L)}{\partial x}}=0\quad \Longrightarrow \quad \alpha _{2}'=2k^{2}L\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}{\text{On utilise l'equation }}(2.2):\qquad \quad &{\frac {\partial \phi _{1}(0)}{\partial x}}=ik\phi _{1}(0)\\\iff &\quad 2k^{2}L=ik\beta _{2}'\\\iff &\quad \beta _{2}'=-2ikL\\\end{aligned}}$ D'où : $\phi _{1}(x)=-k^{2}x^{2}+2k^{2}Lx-2ikL$

3^e cas Canal monodimensionnel de pente constante avec sortie libre en amont

On étudie maintenant le cas d'un canal monodimensionnel de longueur L, dont la pente de fond est constante égale à $s$.

On modélise à son entrée, par l'aval, une onde de fréquence unitaire $\phi =1$ (condition aux limites de Dirichlet), et une sortie libre en amont $\phi _{x}=ik\phi$ (condition aux limites de Robin).

Simplification de l'équation de Berkhoff :

Dans cette situation, la profondeur du canal $H$ n'est pas une constante : $H=H(x)$. On conserve l'hypothèse $C=C_{g}={\sqrt {gH}}$. Pour simplifier l'équation de Berkhoff, il est nécessaire de repartir de son expression initiale :

${\begin{aligned}&\nabla .(CC_{g}\nabla \phi )+k^{2}CC_{g}\phi =0\\\iff &\nabla .(gH(x)\,\nabla \phi )+k^{2}gH(x)\phi =0\end{aligned}}$

Finalement, l'équation de Berkhoff dans ce cas s'écrit :

$H{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial H}{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+k^{2}H\phi =0$

Hypothèses :

On prendra $H(x)=H_{0}-sx$, où $H_{0}$ est la hauteur à l'origine, et $s$ représente la pente.
On considère également que $k=k_{0}{\sqrt {\frac {H_{0}}{H(x)}}}$.

Solution analytique

Les conditions aux limites :
$\bullet \quad \phi (0)=1$
$\bullet \quad \phi _{x}(x=L)=ik\phi (x=L)$

En effectuant le changement de variable $z(x)=H_{0}-sx$, l’équation prend la forme :
Échec de l’analyse (erreur de syntaxe): {\displaystyle z(x) \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}} – s \frac{\partial \phi}{\partial x}+ H_{0} k_{0}^{2} \phi = 0 }

Afin de résoudre cette équation, on la simplifie en suivant les étapes ci-dessous :

Échec de l’analyse (fonction inconnue « \begin{align} »): {\displaystyle \begin{align} & z(x) \frac{\partial^2 \phi} {\partial x^2} – s \frac{\partial \phi} {\partial x}+ H_0 k_0^2 \phi = 0 \\ \iff & z(x) \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}) -s \frac{\partial \phi}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}+ H_0 k_0^2 \phi = 0 \\ \iff & -s z(x) \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial \phi}{\partial z}) + s^2 \frac{\partial \phi}{\partial z}+ H_0 k_0^2 \phi = 0 \\ \end{align} }

En posant $F={\frac {\partial \phi }{\partial z}}$, on trouve : ${\begin{aligned}&s^{2}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}-sz(x){\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial z}{\partial x}}+H_{0}k_{0}^{2}\phi =0\\\iff &z(x){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+{\frac {H_{0}k_{0}^{2}}{s^{2}}}\phi =0\\\end{aligned}}$

En posant $\alpha ^{2}={\frac {k_{0}^{2}H_{0}}{s^{2}}}$, on retrouve une équation de Bessel : $z(x){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+\alpha ^{2}\phi =0$

La solution de cette équation est alors : Échec de l’analyse (SVG (MathML peut être activé via une extension du navigateur) : réponse non valide(« Math extension cannot connect to Restbase. ») du serveur « http://localhost:6011/fr.wikipedia.org/v1/ » :): {\displaystyle \phi(z) = B J_0 (2 \alpha \sqrt{z}) + C Y_0 (2 \alpha \sqrt{z}) \text{où :} \left\{ \begin{align} J_0 \text{est une fonction de Bessel de 1^ère espèce à l’ordre 0} \\ Y_0 \text{est une fonction de Bessel de 2^ème espèce} \\ B \text{et} C \text{sont des constantes à déterminer grâce aux conditions limites} \\ \end{align} \right. }

Hypothèses et simplifications dans ce cas précis :

On considère $k=k_{0}=constante$ et dans un soucis de simplification de la résolution de l'équation, on effectue le changement de variable suivant : $z(x)=H_{0}-sx$.

Résolution de la solution analytique :
On obtient alors : ${\frac {H(x){\frac {\partial \phi }{\partial x}}}{\partial x}}+k^{2}(x)H(x)\phi =0$
$\Leftrightarrow {\frac {z(x){\frac {\partial \phi }{\partial x}}}{\partial x}}+k_{0}^{2}H_{0}\phi =0$

En effectuant le changement de variable, on a :
$\Leftrightarrow {\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+z(x){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+k_{0}^{2}H_{0}\phi =0$
$\Leftrightarrow -s{\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}-sz(x){\frac {\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\partial x}}+k_{0}^{2}H_{0}\phi =0$

On pose $F={\frac {\partial \phi }{\partial z}}$

$\Leftrightarrow s^{2}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}-sz(x){\frac {\partial z}{\partial x}}{\frac {\partial F}{\partial z}}+k_{0}^{2}H_{0}\phi =0$

$\Leftrightarrow {\frac {\partial \phi }{\partial z}}+z(x){\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}+{\frac {k_{0}^{2}(x)H_{0}\phi }{s^{2}}}=0$

On pose alors $\alpha ^{2}={\frac {k_{0}^{2}H_{0}}{s^{2}}}$
Ce qui nous donne au final : $z{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+\alpha ^{2}\phi =0$

D’où $\phi (z)=BJ_{0}(2\alpha {\sqrt {z}})+CY_{0}(2\alpha {\sqrt {z}})$, avec :

$\bullet \quad J_{0}$ une fonction de Bessel de 1ère espèce à l’ordre 0.
$\bullet \quad Y_{0}$ une fonction de Bessel de 2ème espèce.
$\bullet \quad B\;et\;C$ des constantes à déterminer.

Avec les conditions limites :

$\phi (0)=1$ soit $x=0$ et $z=H_{0}$
et :
$\phi _{x}(x=L)=ik\phi (x=L)$

On obtient :

$BJ_{0}(2\alpha {\sqrt {H}}_{0})+CY_{0}(2\alpha {\sqrt {H}}_{0})=1$
et :
$BJ_{1}(2\alpha {\sqrt {H}}_{1})+CY_{1}(2\alpha {\sqrt {H}}_{1})=i(BJ_{0}(2\alpha {\sqrt {H}}_{1})+CY_{0}(2\alpha {\sqrt {H}}_{1}))$

Ce qui revient à dire que :

$B={\frac {(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2})-Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}}$
et :
$C={\frac {-(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}{J_{0}(Y_{1}^{2}-Y_{0}^{2})-Y_{0}^{0}(J_{1}^{2}-iJ_{0}^{2})}}$

Solution semi-analytique par homotopie

Dans ce cas précis pour un souci de réalisme, il faut veiller à ce que la hauteur de la houle ne soit pas supérieure à celle de la profondeur en eau.
La programmation de cette solution dans ce cas se fera selon le modèle de Bessel.
Nous prenons de manière arbitraire la valeur $s={\frac {1}{200}}$ de la pente du fond pour la superposition des solutions analytique et par homotopie dans l’animation temporelle.