Une algèbre vertex est un espace vectoriel
, muni d'un élément unité
, d'un endomorphisme
appelé opérateur de translation et d'une application linéaire de multiplication
qu'on écrit
,vérifiant les axiomes suivants :
- (Identité) Pour tout
,
et
(autrement dit,
pour
et
),
- (Translation)
, et pour tous
,
![{\displaystyle Y(a,z)Tb-TY(a,z)b={\frac {d}{dz}}Y(a,z)b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4baf6210b844e2d735288844447307318482ac18)
- (4 points) Pour tous
, il existe un élément
- tel que
,
, et
sont les expansions de
dans
,
, et
, respectivement.
L'application de multiplication est souvent vue comme une correspondance entre états et champs
(où
est l'ensemble des champs sur
, c'est à dire, l'ensemble des séries
telles que pour tout vecteur
on a
) associant une distribution formelle à coefficient opérateurs (un opérateur vertex) à chaque vecteur. Physiquement, la correspondance est une insertion à l'origine et
est un générateur infinitésimal des translations. L'axiome des 4 points mélange l'associativité et la commutativité, aux singularités près.
Remarque : l'axiome de translation entraîne que
, donc
est uniquement déterminé par
.
Remarque : l'axiome des 4 points peut être remplacé par l'axiome suivant appelé axiome de localité :Pour tous
il existe
tel que
(où
).
Soient
. Le calcul explicite de
donne les deux égalités suivantes appelées identités de Borcherds : pour tous
,
,
,
où
, pour tout
.
Une algèbre vertex
est dite commutative si pour tout
, les opérateurs vertex associés commutent (i.e.
). En particulier cela signifie que
pour tous vecteurs
dans l'axiome de localité. Une condition équivalente est
pour tous
et tous entiers
.
Si
est une algèbre vertex commutative alors
pour tout
, c'est-à-dire,
pour
.
Une algèbre vertex commutative admet une structure d'algèbre différentielle (i.e. algèbre commutative unitaire munie d'une dérivation). En effet, une algèbre vertex commutative possède une structure d'algèbre commutative unitaire via le produit
,où l'unité est
et l'opérateur de translation
agit comme une dérivation sur
(il vérifie la relation de Leibniz) :
.Réciproquement toute algèbre différentielle admet une structure d'algèbre vertex commutative.
Soit
une algèbre de Lie de dimension finie et
une forme bilinéaire symétrique définie sur
supposée invariante (i.e.
). On pose
l'algèbre de Kac-Moody affine associée à
. Soit l'espace vectoriel
,
où
est l'algèbre universelle enveloppante de
et où
est une représentation de dimension
de
sur laquelle
agit trivialement et
agit comme l'identité.
Le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt, nous donne l'isomorphisme d'espaces vectoriels suivant :
.
Les éléments de
s'identifient aux éléments de
. Pour
et
, posons
. Soit
une base ordonnée de
. Alors une base de
est donnée par :
, où
tels que si
alors
.
L'algèbre vertex universelle affine associée à
est l'algèbre vertex
où l'opérateur translation est donné par
, et l'opérateur vertex est défini par
et
où
est le produit normé ordonné.
Si
est une algèbre de Lie complexe de dimension
(i.e.
) et
une forme bilinéaire symétrique invariante non dégénérée alors l'algèbre vertex universelle
est appelée algèbre vertex d'Heisenberg de
.
Algèbre vertex universelle affine associée à
de niveau
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Si
est une algèbre de Lie simple et
(
) où
est la forme de Killing de
et
le dual du nombre de Coxeter. L'algèbre vertex universelle
est appelée l'algèbre vertex universelle affine associée à
de niveau
. On la note
.
Soit
l'algèbre de Virasoro et soit
. On considère l'espace vectoriel
où
est une représentation de dimension
sur laquelle
agit par multiplication par
et
agit trivialement. On peut définir une structure d'algèbre vertex sur
dont une base est donnée par les éléments de la forme
avec
. Cette algèbre vertex est appelée l'algèbre vertex de Virosoro de charge centrale
.
Une algèbre vertex
est
-graduée si
et si
et
implique
.
Une algèbre vertex est dite conforme si elle est
-graduée et s'il existe un élément
dît conforme, tel que l'opérateur vertex associé
vérifie, pour tout
, les conditions suivantes :
,
(autrement dit
),
,
où
est une constante appelée la charge centrale ou le rang de
.
Remarque : ceci munit
d'une action de l'algèbre de Virasoro
.
Exemple : l'algèbre vertex de Virasoro
est conforme de charge centrale
. Un vecteur conforme est donné par