Théorème des moments[modifier | modifier le code]

Contexte[modifier | modifier le code]

En général, une loi n'est pas caractérisée par ses moments. Cependant, lorsque la fonction caractéristique d'une variable aléatoire est analytique, la loi est alors caractérisée par ses moments.

Soient $X$ , $Y$ deux variables aléatoires définies sur $(\Omega$ , ${\mathcal {A}}$ , $\mathbb {P} )$ à valeurs dans un intervalle borné $[a,b]$ .

Théorème des moments — Si $\mathbb {E} (X^{k})=\mathbb {E} (Y^{k})$ pour tout $k\in \mathbb {N}$ , alors $X$ et $Y$ ont même loi.

Avant de démontrer le théorème, quelques outils sont indispensables :

Formule d'inversion de Fourier — Soit $\mathbb {E} (X^{k})=\mathbb {E} (Y^{k})$ pour tout $k\in \mathbb {N}$ , alors $X$ et $Y$ ont même loi.

Démonstration

$μ 2$ ayant pour dimension $[X 2]$ , $σ = \sqrt μ 2$ a pour dimension $[X]$ , donc $β r -2 = μ r ⁄ σ r$ a pour dimension $[X r ⁄ X r] = [1]$ .