Inégalité d'interpolation de Gagliardo-Nirenberg[modifier | modifier le code]

En mathématiques, l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg est une estimation portant sur les dérivées faibles d'une fonction donnée. Elle fait intervenir les normes $L^{p}$ de la fonction ainsi que ses dérivées. C'est un résultat particulièrement important de la théorie des équations aux dérivées partielles. Cette inégalité a été proposée par Louis Nirenberg et Emilio Gagliardo ^[1].

Énoncé^[2][modifier | modifier le code]

Soient $u:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ une fonction C^∞ à support compact, deux réels $1\leq q,r\leq \infty$ et un entier $m$ . Soient $\alpha$ un réel et $j$ un entier naturel tels que

{\frac {1}{p}}={\frac {j}{n}}+\left({\frac {1}{r}}-{\frac {m}{n}}\right)\alpha +{\frac {1-\alpha }{q}}

et

{\frac {j}{m}}\leq \alpha \leq 1.

Alors, il existe une constante $C$ dépendant de $m,\ n,\ j,\ q,\ r$ et $\alpha$ telle que

$\|\mathrm {D} ^{j}u\|_{L^{p}}\leq C\|\mathrm {D} ^{m}u\|_{L^{r}}^{\alpha }\|u\|_{L^{q}}^{1-\alpha }.$

Note^[3][modifier | modifier le code]

Pour une preuve de cette inégalité, voir ^[4] théorème 9.3. La première condition sur $\alpha$ est l'homogénéité en $x$ . La seconde condition exprime qu'à homogénéité fixée, $j$ ne peut pas dépasser la valeur d'interpolation avec $\alpha$ , i.e. $j\leq \alpha \ m$ . Le cas limite interdit est $p=\infty$ lorsqu'il a la même homogénéité que $\|\mathrm {D} ^{m}u\|_{L^{r}}$ , sauf si $r=1$ auquel cas le résultat est trivial (en intégrant $m-j$ fois).

Conséquences[modifier | modifier le code]

Pour $\alpha =1$ , la norme $L^{q}$ de $u$ dans le membre de droite de l'inégalité ci-dessous n’apparaît plus. Dans ce cas on retrouve les injections de Sobolev.
Un autre cas spécial de l'inégalité d'interpolation de Gagliardo–Nirenberg est l'inégalité de Ladyzhenskaya, qui s'obtient pour $m=1,$ $j=0,$ $n=2$ ou $3,$ $q=r=2,$ et $p=4$ .

Références[modifier | modifier le code]

↑ (en) L. Nirenberg, « On elliptic partial differential equations », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), vol. 13,‎ 1959, p. 115–162
↑ (en) Thierry Cazenave, Semilinear Schrödinger equations, Courant Lecture Notes in Mathematics, vol 10, New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2003 (ISBN 0821833995), p. 9
↑ Jean Ginibre, Introduction aux équations de Schrödinger non linéaires, cours de DEA 1994-1995, Université de Paris-Sud (ISBN 2-87800-147-8), p. 13
↑ (en) Avner Friedman, Partial differential equations, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, 2008 (ISBN 0486469190), p. 24

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, 2010, 2nd edition
(en) Luc Tartar, An Introduction to Sobolev Spaces and Interpolation spaces, Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana, vol 3, Springer, 2007, 1st edition
(en) Robert A. Adams et John J. F. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press, 2003, 2ème édition

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Espace d'interpolation

Espace de Sobolev

[1] (en) L. Nirenberg, « On elliptic partial differential equations », Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), vol. 13,‎ 1959, p. 115–162

[2] (en) Thierry Cazenave, Semilinear Schrödinger equations, Courant Lecture Notes in Mathematics, vol 10, New York University, Courant Institute of Mathematical Sciences, New York; American Mathematical Society, Providence, RI, 2003 (ISBN 0821833995), p. 9

[3] Jean Ginibre, Introduction aux équations de Schrödinger non linéaires, cours de DEA 1994-1995, Université de Paris-Sud (ISBN 2-87800-147-8), p. 13

[4] (en) Avner Friedman, Partial differential equations, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, 2008 (ISBN 0486469190), p. 24

[1]

[2]

[3]

[4]