Théorème de Monsky

En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le théorème de Monsky affirme qu'il est impossible de partitionner un carré en un nombre impair de triangles de même aire^[1]. Autrement dit, un carré n'admet pas d'équidissection impaire.

La question fut posée par Fred Richman dans l'American Mathematical Monthly en 1965, et le résultat démontré par Paul Monsky (en) en 1970^[2]^,^[3].

Démonstration

La démonstration de Monsky combine des techniques d'algèbre et d'analyse combinatoire ; la voici dans ses grandes lignes :

Sans perte de généralité, on considère le carré unité de sommets en (0,0), (0,1), (1,0) et (1,1) ; dans une dissection en n triangles de même aire, chaque triangle est donc d'aire 1/n.
On utilise la valuation 2-adique^[4] des coordonnées de chaque point du carré pour colorier ce point avec une couleur parmi trois couleurs distinctes.
On montre qu'une droite ne contient que des points ayant deux couleurs différentes seulement.
Le lemme de Sperner montre que toute triangulation du carré en triangles ayant des côtés communs doit contenir au moins un triangle dont les trois sommets sont de couleurs distinctes.
On utilise la propriété de coloration des droites pour en déduire qu'il existe un tel triangle tri-coloré dans toute triangulation, même si les triangles ne sont pas bord à bord.
Un calcul algébrique montre que la valuation 2-adique de l'aire d'un triangle tri-coloré est supérieure à 1, et donc que toute dissection doit contenir au moins un triangle de valuation > 1.
La valuation 2-adique de 1/n est 1 si n est impair, ce qui achève la démonstration^[5].

Généralisations

Article principal : Équidissection.

Le théorème se généralise en dimension quelconque (sans grande modification de la démonstration) : un hypercube de dimension d ne peut être subdivisé en n simplexes de même volume que si n est un multiple de $d!=1\times 2\times 3\times \dots \times d$ ^[3].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Monsky's theorem » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Proofs from The Book, Berlin, Springer-Verlag, 2010, 4^e éd., 131-138 p. (DOI 10.1007/978-3-642-00856-6_20), « One square and an odd number of triangles ».
↑ (en) Paul Monsky, « On dividing a square into triangles », Amer. Math. Monthly, vol. 77,‎ 1970, p. 161-164 (JSTOR 2317329, lire en ligne)
↑ ^{a et b} (en) Une analyse détaillée de la démonstration, par Moor Xu.
↑ En réalité, cette valuation n'est d'habitude définie que sur les rationnels, et doit être prolongée aux réels pour pouvoir conclure la démonstration ; bien que construire un tel prolongement sur tout R nécessite l'axiome du choix, l'utilisation que fait Monsky de cette valuation ne demande pas cet axiome.
↑ (en) Dissecting a square into triangles, où l'on trouvera une illustration de la coloration utilisée.

Voir aussi

Trisection du carré

Portail de la géométrie

[1] (en) Martin Aigner et Günter M. Ziegler, Proofs from The Book, Berlin, Springer-Verlag, 2010, 4^e éd., 131-138 p. (DOI 10.1007/978-3-642-00856-6_20), « One square and an odd number of triangles ».

[2] (en) Paul Monsky, « On dividing a square into triangles », Amer. Math. Monthly, vol. 77,‎ 1970, p. 161-164 (JSTOR 2317329, lire en ligne)

[xu-3] {a et b} (en) Une analyse détaillée de la démonstration, par Moor Xu.

[4] En réalité, cette valuation n'est d'habitude définie que sur les rationnels, et doit être prolongée aux réels pour pouvoir conclure la démonstration ; bien que construire un tel prolongement sur tout R nécessite l'axiome du choix, l'utilisation que fait Monsky de cette valuation ne demande pas cet axiome.

[5] (en) Dissecting a square into triangles, où l'on trouvera une illustration de la coloration utilisée.

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